mÃ©moire de M2

More documents

Recommendations

Info

$TD 3 : Courbes et fractales$

$TD 3 : Courbes et fractales$

1 Corps valués algébriquement closÀ tout modèle M de T on associe M eq ⊧ T eq en interprétant S E par l’ensemble des classes d’équivalencede E et f E par la surjection canonique.La structure M eq est alors, en quelque sorte la structure de M et de tous ses imaginaires.Remarque 1.45 (Quelques propriétés de M eq ) :(i) Soit ϕ[x 1 , . . . , x n ] ∈ L eq , il existe alors ψ[y 1 , . . . y n ] ∈ L tel queoù S Ei est la sorte de x i .T eq ⊢ ϕ[f E1 (y i ), . . . , f En (y n )] ⇐⇒ ψ[y 1 , . . . , y n ](ii) Si M ⊧ T eq et N ⊆ M alors N ⊧ T eq si et seulement si S = (N) ⊧ T.(iii) Si N ≼ M alors N eq ≼ M eq .(iv) Si T est modèle-complète alors T eq l’est aussi. Néanmoins, en règle générale, si T élimine lesquantificateurs, ce n’est pas forcément le cas de T eq .(v) T eq élimine uniformément les imaginaires.Lemme 1.46 :Soient M une L-structure, X un ensemble définissable et a ∈ M. Alors, X est codé par a si etseulement si dcl eq ( a) = dcl eq (⟨X⟩), où ⟨X⟩ est un code de X dans M eq et X est faiblement codépar a si et seulement si ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a) et a ∈ acl eq (⟨X⟩).Proof . Quitte à agrandir M, on peut le supposer assez saturé et homogène. Si X est codé para, un automorphisme de M eq fixe X et donc ⟨X⟩ si et seulement si il fixe a et on a donc bienque a ∈ dcl eq (⟨X⟩) et ⟨X⟩ ∈ dcl eq (a). La réciproque est évidente.Si X est faiblement codé par a via ϕ[ x, y], tout automorphisme qui fixe ⟨X⟩ et donc X nepeut envoyer a que sur l’un des a ′ en nombre fini tel que ϕ[x, a ′ ] définit aussi X et donca ∈ acl eq (⟨X⟩). Comme X est définissable sur a on a aussi bien sûr ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a). Réciproquement,si ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a), il existe ϕ[x, a] qui définit X. Si l’on note p = tp( a) et n lataille de son orbite au dessus de ⟨X⟩, par une compacité à peine plus compliquée que dans laproposition (1.41), il existe ψ ∈ p tel que si on a n éléments distincts de M qui vérifient ψ etqui définissent X via ϕ[ x, y] alors l’un d’entre eux est a. Il est alors facile de voir que X estcodé faiblement pas a via ϕ[ x, y] ∧ ψ[ y].∎Enfin, montrons que ce qui fait la différence entre les codes et les codes faibles, c’est simplementla capacité de coder les ensembles finis.Lemme 1.47 :Soit M une L-structure qui admet des codes pour les ensembles finis. Un ensemble définissable aalors un code si et seulement si il a un code faible.Proof . Tout d’abord, il est évident qu’un code est aussi un code faible. Réciproquement, soit El’ensemble fini des conjugués de a au dessus de ⟨X⟩ (un code dans M eq ) et σ ∈ Aut(M eq /⟨X⟩).Comme σ fixe ⟨X⟩, on a σ(X) = X, i.e. ϕ[M, σ( a)] = X. Il s’en suit donc que pour tout a ′ ∈ E,ϕ[x, a ′ ] défini X. Tout automorphisme qui fixe X envoie un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩sur un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩ et donc fixe E. Réciproquement, tout automorphisme20
1 Corps valués algébriquement closqui fixe globalement E fixe X comme on vient de le démontrer. Tout code de E est donc uncode de X.∎Exemple 1.48 :(i) La théorie des corps algébriquement clos élimine uniformément les imaginaires. C’est l’exemplequi a motivé la définition de cette notion dans [Poi83]. La théorie des corps réels clos élimineaussi uniformément les imaginaires.(ii) Th(Q,
Page 5: 1 Corps valués algébriquement clo
Page 10 and 11: 1 Corps valués algébriquement clo
Page 30 and 31: Chapitre 2Corps des nombres p-adiqu
Page 32 and 33: 2 Corps des nombres p-adiques et sa
Page 60 and 61: Théorie des modèles[HM08][Hod93][

mÃ©moire de M2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?