mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closDéfinition 1.4 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, on dit que v 1 ⩽ v 2 si et seulement si O v2 ⊆O v1 . C’est un pré-ordre. On dira que deux valuations sont équivalentes si elles sont équivalentespour la relation associée à ce pré-ordre, i.e. O v1 = O v2 .Remarque 1.5 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, v 1 est équivalente à v 2 si et seulement si ilexiste σ ∶ Γ v1 → Γ v2 , isomorphisme de groupes ordonnés, tel que v 2 = σ ○ v 1 .Il suit de cette remarque qu’on ne considérera désormais les valuations qu’à équivalence près.La théorie des corps valués n’est donc pas tant la théorie des valuations que la théorie desanneaux de valuation.Pour faire de la théorie des modèles, il faut introduire le langage qu’on utilisera. Il y en a uncertain nombre qui sont classiquement utilisés dans la littérature. Celui qui sera le plus utiliséici est le suivant :Définition 1.6 (L div ) :Le langage L div est {+, −, ×, 0, 1, div} où +, − et × sont des fonctions binaires, 0 et 1 sont desconstantes et div est une relation binaire. Dans un corps valué (K, v), on interprète +, −, ×, 0 et 1par la structure d’anneau de K et x div y par v(x) ⩽ v(y).La théorie des corps valués est alors donnée par les axiomes suivants :(i) « K est un corps » ;(ii) 1 div 1 ∧ 1 div 0 ;(iii) ∀x∀y 1 div x ∧ 1 div y ⇒ 1 div x + y ∧ 1 div xy ;(iv) ∀x∀y xy = 1 ⇒ (1 div x ∨ 1 div y) ;(v) ∀x∀y∀z xy = 1 ⇒ (x div z ⇐⇒ 1 div yz).On aurait pu tout simplement prendre le langage des anneaux {+, −, ×, 0, 1} et ajouter unprédicat pour l’anneau de valuation, mais alors, à moins de rajouter l’inverse, les théories quel’on considère plus loin perdent l’élimination des quantificateurs.Remarque 1.7 :Une sous-L div -structure est un anneau dont le corps des fractions (qui est aussi une sous-structure)est un corps valué muni de la restriction de la valuation.Il y a un autre langage classique, qui est peut être plus proche de l’intuition que l’on a de cequ’est un corps valué, mais qui a le défaut d’être multi-sorté.Définition 1.8 :Le langage tri-sorté des corps valué est constitué de trois sortes K, Γ ∞ et k et des symboles suivants :– {+, −, ×, 0, 1} sur K et k ;– {+, −, 0, ⩽, ∞} sur Γ ∞ ;– v ∶ K → Γ ∞ ;– res ∶ K → k.5