mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closOn veut maintenant utiliser le critère précédent, mais il est plus simple de d’abord supposerque A est un modèle, puis en déduire le cas où A n’est qu’une structure en utilisant lethéorème de conjugaison.Lemme 1.31 :Soient (K, v) et (L, w) deux modèles de ACVF tels que (K, v) est une sous-structure de (L, w) etϕ une formule sans quantificateurs de L A , on a L ⊧ ∃xϕ[x] si et seulement si K ⊧ ∃xϕ[x]Proof . D’après la remarque (1.7), K est un sous-corps de L muni de la restriction de la valuation.Soit alors m ∈ L tel que L ⊧ ϕ[m, a]. On veut montrer qu’il existe m ′ ∈ K tel que K ⊧ϕ[m ′ , a]. Si m = 0 alors il est déjà dans K et c’est évident. On peut donc supposer m inversibleet comme toute formule sur m est équivalente à une formule sur m −1 (il suffit de remplacerx par 1/x dans les polynômes qui apparaissent et multiplier par la bonne puissance de x pourque cela garde un sens), on peut supposer que w(m) ⩾ 0. De même, si m est algébrique surK, qui est algébriquement clos, on a m ∈ L et c’est fini. On peut donc aussi supposer que mest transcendant sur K.Il y a donc trois cas qui correspondent aux différentes formes d’extension transcendante.Extension purement ramifiée : Supposons qu’il existe b ∈ K tel que w(m−b) /∈ Γ K . Quitteà considérer ϕ[x + b, a], on peut considérer que w(m) /∈ Γ K . On peut alors supposer(comme toujours) que ϕ est une conjonction d’atomes et de négation d’atomes, i.e. dela forme suivante :n⋀i=1¬P i (x) = 0 ∧ n′⋀j=1R j [x] div R ′ j [x] ∧n′′⋀j=n ′ +1¬R j [x] div R ′ j [x]Notons R j = λ 1 ∏ k (x − a j,k ) n j,ket de même pour Rj ′ . Quitte à agrandir a, on peutsupposer que toutes les racines sont dedans. Soit alors (G, D) la coupure de w(m)dans v( a), i.e. G = {x ∈ a ∶ w(x) < w(m)} et D = {x ∈ a ∶ w(m) < w(x)}. On a alorsw(R j (m)) = w(λ) +∑a j,k ∈Get donc R j (m) div Rj ′ (m) si et seulement si :n j,k w(a j,k ) +w( λ jλj′ )+ ∑ n j,k w(a j,k )− ∑ n j,k ′ w(a′ j,k )+( ∑a j,k ∈Ga j,k ′ ∈Ga j,k ∈D∑a j,k ∈Dn j,k −n j,k w(m)∑a ′ j,k ∈D n ′ j,k)w(m) ⩽ 0,c’est-à-dire n j w(m) ⩽ b j avec n j ∈ Z et b j ∈ Γ K . Comme L est algébriquement clos,Γ K est divisible (voir lemme (1.24)) et comme w(m) /∈ Γ K , R j (m) div Rj ′ (m) est doncéquivalent à w(m) < bj ′ ou w(m) > b′ j avec b′ j ∈ Γ K. Quitte à supposer que les bj ′ sontdans v( a), les conditions sur la valuation de m (même les négations) sont donc touteséquivalentes à la réalisation de la coupure de w(m) sur v( a). Mais comme Γ K ⊧ DLOdont tous les modèles sont ω-saturés, il existe m ′ ∈ K qui réalise cette coupure. Deplus pour tout u ∈ K tel que w(u) > w(m ′ ), w(m ′ + u) = w(m ′ ) réalise aussi cettecoupure et il y a donc une infinité de valeurs possibles pour m ′ . Il suffit d’en prendreune qui n’annule aucun des P i et on a alors K ⊧ ϕ[m ′ , a].13