mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieRemarque 2.11 :Il est facile de voir que le groupe de valeur d’un corps valué de valuation discrète et Archimédienneest monogène.Lemme 2.12 :Soit (K, v) un corps valué de valuation discrète, d’uniformisante π et dont le corps résiduel est finialors toute boule de rayon γ est recouverte par un nombre fini de boules de rayon γ + v(π).Proof . Soit b une boule de centre a et de rayon γ. Supposons que le corps résiduel soit decardinal q et qu’il existe q + 1 boules disjointes de rayon γ + v(π) incluses dans b. Soientalors x 0 , . . . , x q des points dans chacune de ces q + 1 boules. On a alors pour tous i ≠ j,v(x i − x j ) ⩽ γ, sinon ils seraient dans la même boule de rayon γ + v(π). Mais d’un autre côtéon a v(x i − x j ) = v(x i − a − (x j − a)) ⩾ γ car x i et x j sont tous les deux dans b. On a doncpour tous i ≠ j, v(x i − x j ) = γ. Posons x i = (x i − a)y où v(y) = −γ. On a alors v(x i ) = 0 etpour tous i ≠ j, res(x i − x j ) ≠ 0, i.e. res(x i ) ≠ res(x j ). On a donc q + 1 éléments de résidusdistincts, ce qui est absurde. Il ne peut donc exister au plus que q boules disjointes de rayonγ + v(π) incluses dans b. Comme deux boules de même rayon sont soit égales soit disjointes,on a bien le résultat recherché.∎Lemme 2.13 :Soient (K, v) un corps valué complet à valuation discrète, R un ensemble de représentants de k =O /M et π i une suite d’éléments de K tels que v(π i ) = v(π) i où π est une uniformisante de K.Alors tout élément x ∈ K se développe de façon unique comme une série convergente ∑ ∞ i=N r iπ i oùN ∈ Z et pour tout i, r i ∈ R.Proof . Voir [Lan02, p. 488].Remarque 2.14 :On peut alors remarquer que tout élément de Q p s’écrit de façon unique comme une série convergente∑ i⩾N a i p i où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧. Il s’en suit aussi immédiatement que tout élément de Z ps’écrit de façon unique comme une série convergente ∑ i⩾0 a i p i et est donc limite d’éléments de Z,i.e. Z est dense dans Z p .Définition 2.15 :On définit L Qp = L div ∪{P n ∶ n ∈ N ⋆ }. La théorie pCF des corps p-adiquement clos dans lelangage L Qp est donnée par les axiomes suivants :(i) K est un corps valué Hensélien.(ii) P n définit l’ensembles des puissances n-ièmes.(iii) Le groupe de valuation est un Z-groupe dont le plus petit élément strictement positif estv(p).(iv) Le corps résiduel est F p .Remarque 2.16 :Il n’est pas totalement évident que cette théorie soit axiomatisable, montrons donc que toutes cespropriétés peuvent être traduites au premier ordre dans L Qp .∎32