mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement clos1.5 Sortes géométriquesDans [HHM06], il est démontré que la théorie ACVF (m,n) élimine (uniformément) les imaginairessi l’on rajoute certaines sortes de réseaux. Le but de cette section est de rappeler ladéfinition de ces sortes et le langage dans lequel on à la fois élimination des imaginaires etdes quantificateurs.Définition 1.57 (Réseaux) :Soit (K, v) un corps valué. On note S n (K) l’ensemble des sous-O K -modules de K n libres de rangn. Un élément de S(K) = ⋃ n⩾1 S n (K) est appelé un réseau de K.Un réseau de K a donc une base e 1 . . . e n dans K. Deux bases engendrent le même réseaus’il existe une matrice dans GL n (O K ) qui conjugue ces deux bases. On a donc S n (K) ≃GL n (K)/ GL n (O K ). Il s’en suit donc que pour tout n, S n est bien une sorte de K eq . De plusl’ensemble S 1 n’est rien d’autre que l’ensemble des boules fermées centrées en 0 de rayon finiappartenant à K. On a donc S 1 (K) ≃ Γ K . D’ailleurs, la surjection canonique K ⋆ → S 1 (K) ≃GL 1 (K)/ GL 1 (O K ) = K ⋆ / O ⋆ K = Γ K est v.On peut aussi remarquer que la sorte S contient des codes non seulement pour les réseauxmais aussi pour tous les translatés de réseaux :Lemme 1.58 :Soient (K, v) un corps valué, s ∈ S n (K) et a ∈ K. Le sous-O K -module de K n+1 engendré par(a + s) × {1} est un réseau et il code a + s.Proof . Soit (e 1 , . . . , e n ) une base de s. On pose e 0 = 0, la famille des (a + e i , 1) est alors unebase du sous-O K -module de K n+1 engendré par (a + s) × {1}, que l’on notera h(a + s). Supposonsque l’on ait ∑ i λ i (a + e i , 1) = 0, où λ i ∈ O K . On a alors (∑ i λ i a + ∑ i⩾1 λ i e i , ∑ i λ i ) =(0, 0). Il s’en suit donc que ∑ i λ i = 0 et donc ∑ i⩾1 λ i e i = 0. Or c’est une famille libre doncpour tout i ⩾ 1, λ i = 0 et donc, λ 0 = 0. Pour ce qui est du fait que ce soit une famille génératrice,tout élément de h(a+s) est de la forme x = ∑ i λ i (a+x i , 1), où x i ∈ s. En particulier, x i =∑ j⩾1 µ i j e j. On a donc x = ∑ i λ i (a+e 0 , 1)+∑ i,j λ i µ j (e j , 0). Or (e j , 0) = (a+e j , 1)−(a+e 0 , 1)et donc x est bien combinaison linéaire des (a + e i , 1).Le module h(a+s) est donc bien un réseau. De plus, h(a+s)∩K n ×{1} = (a+s)×{1}. En effet,si x ∈ h(a+s)∩K n ×{1}, il existe λ i ∈ O K , x i ∈ s et y ∈ K n tels que ∑ i λ i (a+x i , 1) = (y, 1) = x.Il s’en suit que ∑ i λ i = 1 et donc y = ∑ i λ i a + ∑ i λ i x i = a + ∑ i λ i x 1 ∈ a + s. L’inclusionréciproque est évidente. Il s’en suit donc que h est une fonction ∅-définissable qui injecteles translatés d’éléments de S n dans S n+1 , i.e. a + s est codé par h(a + s) via la fonction quidéfinit h.∎On en déduit immédiatement que l’ensemble des boules fermées dont le rayon est dans Γ Ks’injecte dans S 2 (K)∪K. En effet l’ensemble des boules fermées de rayon infini est exactementK. Pour ce qui est des boules fermées de rayon fini, ce sont des translatés de boules centréesen 0, i.e. d’éléments de S 1 , par le lemme précédent, ils s’injectent bien dans S 2 .Définition 1.59 (Torseurs) :Soit (K, v) un corps valué. On pose T n (K) = ⊔ s∈Sn(K) s/(M s). Un élément de T (K) = ⋃ n⩾1 T n (K)est appelé un torseur de K.26