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$TD 3 : Courbes et fractales$

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2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieexprimer au premier ordre que dans toute extension L de degré donné il y a un élément αqui annule un des P i . De plus on peut exprimer au premier ordre que l’anneau engendré parα au dessus de O K est un anneau de valuation. Comme K est hensélien, c’est donc l’uniqueanneau de valuation au dessus de O K et c’est donc forcément O L .∎2.5 Élimination des imaginaires dans pCFDans cette section, on reprendra les notations de la proposition (1.53) avec L = L G Q p, T =pCF G , ̃L = L G div et ̃T = ACVF G 0,p . On rappelle que M est un modèle de pCFG assez saturé ethomogène et que ̃M est un modèle de ACVF G 0,pqui contient M et qui est lui même assezsaturé et homogène.Montrons maintenant que les hypothèses de la proposition (1.53) sont vérifiées.Proposition 2.64 ((i) dans pCF) :Soient M ′ ≼ M deux modèles de T et c ∈ dom(M), on a alors dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c).Proof . Comme acl ̃L(dom(M ′ )c) = dom(M ′ )c alg d’après la remarque (1.32.i), on a montré àla proposition (2.24) que acl ̃L(M ′ c)∩dom(M) = acl ̃L(dom(M ′ )c)∩dom(M) est un modèlede pCF. Par modèle complétude, on a acl ̃L(M ′ c)∩dom(M) ≼ dom(M) et donc acl ̃L(M ′ c)∩M eq = (acl ̃L(M ′ c) ∩ dom(M)) eq ≼ M eq . Comme L G Qest une extension définissable de L eqp Q,pon a donc aussi acl ̃L(M ′ c) ∩ M ≼ M. Enfin, comme la clôture définissable ne dépend pas dumodèle dans une extension élémentaire, on a bien que dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c) ∩ M ⊆acl ̃L(M ′ c).∎Proposition 2.65 ((ii) dans pCF) :Pour tout A = acl L (A) ∩ M et c ∈ dom(M), on a acl L (Ac) = dcl L (Ac) et donc, en particulier,acl L (Ac) ∩ M ⊆ dcl L (Ac) ∩ M.Proof . D’après le corollaire (2.29), on a, pour tout A ⊆ K(M), acl L (Ac) ∩ K(M) = dcl L (Ac) ∩K(M). Or cet ensemble est un modèle de pCF et donc acl L (Ac) ⊆ (acl L (Ac) ∩ K(M)) eq =dcl L ((acl L (Ac)∩K(M))) = dcl L ((dcl L (Ac)∩K(M))) = dcl L (Ac). Il faut cependant étendrece résultat à des ensembles de paramètres imaginaires (et pas uniquement dans la sorte ducorps).Soit A = {a i ∶ i ∈ κ} une énumération de A. Pour tout i, soit c i ∈ dom(M) tel que a i ∈dcl L (c i ) (qui existe par définition des sortes dominantes) et p i ∈ S L (M) une extensionAut L (M /A)-invariante de tp L (c i /A) (qui existe par la proposition (2.46)). On construitalors (A i ) i∈κ par induction. On pose A 0 = A, A i+1 = A i ∪ {b i } où b i ⊧ p i ∣ acl L (A i c) etA λ = ⋃ i
2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriep i+1 ∣ acl L (A i c) et donc M ⊧ ϕ[σ(a), c, b i+1 ]. Il s’en suit donc que σ(a) = a et donc quea ∈ dcl L (A i c). On a donc acl L (Ac) ∩ dcl L (A i+1 c) ⊆ acl L (Ac) ∩ dcl L (A i c) ⊆ dcl L (Ac).Pour tout i, a i ∈ dcl L (b i ) et donc, comme b i ∈ dom(M), A ⊆ dcl(A k ∩dom(M)). On a alorsacl L (Ac) ⊆ acl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ c). Il s’en suit doncque acl L (Ac) = acl L (Ac) ∩ dcl L (A κ c) ⊆ dcl L (Ac).∎Pour ce qui est du (iii), on peut même en montrer une version un petit peu plus forte.Proposition 2.66 ((iii ′ ) dans pCF) :Soit e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ ̃M, il existe alors e ′ ∈ M tel que tout automorphisme de ̃M qui laisse Mglobalement fixe, fixe e si et seulement si il fixe e ′ , et e ∈ dcl ̃L(e ′ ).Proof . Supposons tout d’abord que e ∈ K(̃M). D’après la remarque (1.32.ii), comme K(M) estHensélien et qu’on est en caractéristique nulle, K(M) est dcl ̃L-clos. On a donc e ∈ K(M).Si maintenant, e ∈ K(̃M), comme e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ acl ̃L(M) et que acl ̃L(M) ⊧ ACVF G 0,p (lapreuve est similaire à celle de la proposition (2.64) dans le cas de pCF G ), il s’en suit que e a unebase dans acl ̃L(M). Il existe donc une extension finie K(M) ⩽ L, telle que e ait une base dansL. Soit m = [L ∶ K(M)]. On sait par le théorème (2.63), qu’il y a un nombre fini d’extensionsde degré m au dessus de K(M). Soit alors L ′ l’union de toutes ces extensions. L’extensionK(M) ⩽ L ′ est toujours finie et si σ est un automorphisme de K(̃M) qui fixe globalementK(M) alors il fixe globalement L. En effet, si a est algébrique de degré m au dessus de K(M),alors σ(a) aussi et donc σ(a) ∈ L ′ . On a donc σ(L ′ ) ⊆ L ′ et comme ces deux extensions sontde même degré, elles sont égales. Quitte à remplacer L par L ′ , on peut donc supposer que Lvérifie cette même propriété que tout automorphisme de K(̃M) qui fixe globalement M fixeglobalement L.Soit alors a ∈ Q alg tel que L = K(M)[a], que O L = O M [a] et dont le polynôme minimalannulateur est dans Q. On connaît l’existence d’un tel a par le théorème (2.63). Ce a permetdonc de définir une bijection f a ∶ L → K(M) m qui induit une bijection f n a ∶ L n → K(M) mn .On pose alors e ′ = f n a(e). Comme O L est un O M -module libre de rang m (la famille des a ien est une base), s est un O M module libre de rang mn. Il est facile de voir que f n a est unisomorphisme de O M -modules et il s’en suit donc que e ′ est bien dans S mn (M).Si a ′ est un conjugué de A au dessus de Q, comme le polynôme minimal annulateur de aau dessus de K(M) est dans Q, c’est aussi le polynôme minimal annulateur au dessus de Qet donc a et a ′ sont conjugués au dessus de K(M). Il existe donc σ ∈ Aut(L/K(M)) unautomorphisme de corps, qui envoie a sur a ′ . De plus, comme e et e ′ ∈ dcl ̃L(M) (à vrai direon a même e ′ ∈ M), ces deux points sont fixés par σ et donc f n σ(a) (e) = e′ . Il s’en suit doncque tout automorphisme de ̃M qui fixe globalement M fixe globalement f a et donc fixe e siet seulement s’il fixe e ′ .Il reste alors à démontrer que e ∈ dcl ̃L(e ′ ). Mais l’inverse de g a ∶ (x 0 . . . x m−1 ) ↦ ∑ i x i a ipeut être étendue par la même formule en un ÕM-module ̃g a ∶ K(̃M) m → K(̃M), qui induitdonc un morphisme de ÕM-module ̃g n a ∶ K(̃M) mn → K(̃M) n . Ce morphisme envoie unebase de e ′ sur une base de e, on a donc ̃g n a(e ′ ) = e. Comme précédemment ̃g a = ̃g a ′ pourtout conjugué de a au dessus de Q et donc tout automorphisme de ̃M qui fixe e ′ fixe bien e,i.e. e ∈ dcl(e ′ ).53
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