mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closIl est clair que T vit aussi dans K eq vu que ses points sont des classes de congruences d’unréseau s (qui est bien un ensemble définissable) par M s qui est bien un sous-groupe définissable.De plus, comme k K = O K / M K et que O K est évidemment un réseau de rang 1, il s’en suitque k K ⊆ T 1 (K). L’application res est aussi définissable car c’est celle qui à a ∈ O K associe saclasse dans O K / M K .Pour pouvoir définir le langage dans lequel on a à la fois élimination des imaginaires et éliminationdes quantificateurs pour ACVF m,n , il faut introduire une dernière notion, celle debase générique. Il faut cependant commencer par montrer le lemme suivant :Lemme 1.60 :Soient (K, v) un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K et a un élément générique de k K au-dessusde A (au sens de la stabilité). Tous les b ∈ O K tels que res(b) = a ont alors le même type.Proof . Quitte à agrandir K, on peut le supposer assez saturé. Soient b et c tels que res(b) =a = res(c), i.e. en se rappelant que a est un translaté de M K , b et c sont dans a. S’ils n’ontpas le même type sur A, il existe un ensemble A-définissable X ⊆ O K tel que b ∈ X et c ∉ X.Mais alors pour tout a ′ générique dans k K au-dessus de A (on peut en construire une infinitéen prenant un élément générique au-dessus de ceux que l’on a déjà construits), il existe b ′ etc ′ dans a ′ tels que b ′ ∈ X et c ′ ∉ X. Mais cela contredit le fait que X est A-définissable. Eneffet, on aurait alors, par la proposition (1.36), X = ⋃ n i=1 (t i/(⋃ m ij=1 tj i ), où les t i et t j isont destranslatés de sous-O-modules de O, i.e. des idéaux. Si t i est un translaté d’un idéal strict deO, il est contenu dans un translaté de M et ne peut donc contenir qu’un seul des b ′ . On doitdonc avoir i = 1 et t 1 = O. Mais pour la même raison on ne peut alors pas éviter tous les c ′sans avoir t j 1= O et donc X = ∅, ce qui est absurde.∎Définition 1.61 (Base générique) :Soient K un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K eq et s ∈ S n (A). Si l’on note res(s) = s/Ms,res(s) n est définissablement isomorphe à k n2 . Comme k est un pur corps algébriquement clos, cetensemble est de degré 1 et a donc un type générique q res(s) n, qui est l’unique type de rang maximalde l’ensemble. Soit alors q s tel que pour tout ( a 1 . . . a n ), on a ( a 1 . . . a n ) ⊧ q s si et seulement si(res( a 1 ) . . . res( a n )) ⊧ q res(s) n, où res( a i ) = a i + Ms.Soit B ⊆ A, une base générique de s au-dessus de B est une réalisation de q s ∣B.Cette définition a un sens car res( a i ) est générique au-dessus de A a 1 . . . a i−1 pour touti et donc, par le lemme (1.60), tous les choix possibles de a i ont le même type au-dessusde ces paramètres. De plus, comme q res(s) n est A-définissable (tous les types sont définissablesdans une théorie stable), q s l’est aussi ; en effet ϕ[ x 1 , . . . x n ] ∈ q s si et seulement si(∀ x 1 . . . x n ⋀ i y i = res( x i ) ⇒ ϕ[x 1 , . . . x n ]) ∈ q res(s) n (il n’est d’ailleurs pas très compliquéde voir que ce type est définissable uniformément en s). Si l’on a plusieurs réseaux s 1 , . . . s n ,on définit le type q s1 ,...,s ncomme le type des bases de s i génériques au dessus des paramètreset des bases déjà choisies pour les (s j ) j