mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement clos(i) Γ K est divisible ;(ii) k K est algébriquement clos.Proof .(i) Soient v(x) ∈ Γ K et n ∈ N. Comme K est algébriquement clos, il existe y ∈ K tel quey n = x. On a alors nv(y) = v(x).(ii) Soit P ∈ k K [X] unitaire il existe alors Q ∈ O v [X] unitaire tel que res(Q) = P. Comme Kest algébriquement clos il existe x ∈ K tel que Q(x) = 0. Comme O v est intégralementclos par le lemme (1.23), on a x ∈ O v et P(res(x)) = res(Q(x)) = 0.∎Lemme 1.25 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valués. Alors w ○ σ est une valuation sur Lpour tout σ ∈ Aut(L/K) et ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ est la clôture intégrale de O v dans L.Proof . Le fait que w ○ σ soit une valuation suit de vérifications évidentes. De plus, commeO w○σ est intégralement clos dans L (voir lemme (1.23)), la clôture intégrale de O v est inclusedans ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Réciproquement, soit x ∈ ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Comme l’extension estnormale, P(X) = ∏ σ∈Aut(L/K) (X − σ(x)) ∈ K[X] et comme O w○σ = σ −1 (O w ), pour toutσ ∈ Aut(L/K), w(σ(x)) ⩽ 0 et donc P ∈ O w [X]. Mais, comme O w ∩K = O v , on a P ∈ O v [X]et ce polynôme est unitaire et annule x.∎Lemme 1.26 :Soit (K, v) un corps valué, K ⩽ L une extension algébrique de corps et O 1 ⊆ O 2 deux anneaux devaluation de L au dessus de O v , alors O 1 = O 2 .Proof . Montrons tout d’abord que M 2 ⊆ O 1 , où M 2 est l’idéal maximal de O 2 . Soit x ∈ M 2 ,comme O 1 est un anneau de valuation, on a x ∈ O 1 ou x −1 ∈ O 1 . Si x −1 ∈ O 1 ⊆ O 2 alors xest inversible dans O 2 ce qui est absurde. De plus comme M 2 est un idéal de O 2 ⊇ O 1 c’estaussi un idéal de O 1 . On a alors Ô1 = O 1 /M 2 ⊆ O 2 /M 2 = k 2 .Comme O 1 et O 2 sont des anneaux de valuation au dessus de O K , on a en particulier queM K ⊆ M 2 ∩ O et donc que k K = O K /M K ⊆ Ô1. D’après le lemme (1.21), k K ⩽ k 2 est uneextension algébrique, et comme on a k K ⊆ Ô1 ⊆ k 2 , il s’en suit que pour tout x ∈ Ô1, k K [x]est une k-algèbre de dimension finie, intègre, donc un corps. Comme tout élément de Ô1est inversible, c’est donc un corps. Mais Ô1 est un anneau de valuation de k 2 . En effet, soit̂x ∈ k 2 , où x ∈ O 2 ⊆ K 2 . Si x ∈ O 1 alors ̂x ∈ Ô1 et si x −1 ∈ O 1 alors (̂x) −1 = ̂x −1 ∈ Ô1. On adonc Ô1 = Frac(Ô1) = k 2 . Il s’en suit immédiatement que O 1 = O 2 .∎Lemme 1.27 :Soient v et (v i ) i=1...n des valuations non triviales de K telles que ⋂ i O vi ⊆ O v , alors il existe unindice i 0 tel que O v et O vi0 sont comparables.Proof . Quitte à retirer les j tels que O vi ⊆ O vj pour un certain i ≠ j, on peut supposerqu’aucune des valuations v i ne sont comparables. Supposons alors que v n’est comparableà aucune des valuations v i , alors par le théorème (1.19), il existe x ∈ ⋂ i O vi ∩ O v tel quev(x − 1) > 0 et v i (x) > 0 pour tour i. Mais alors comme v(x) > 0 implique v(x − 1) = 0, on11