mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closest fini (de même cardinal que R(x)) et donc σ(R) vérifie aussi la conclusion du lemme (1.55).Il est alors facile de voir que la relation R ∧ σ(R) vérifie aussi la conclusion de ce lemme etdonc, comme R a été choisi de cardinal minimal sur les réalisations de ̃p, pour tout x ⊧ ̃p, ona R(x) = R(x) ∩ σ(R)(x) et donc R(x) = σ(R)(x) car ils ont le même cardinal. Comme il estévident que σ(r)(x) code σ(R)(x), il s’en suit que σ(∂̃p r) = ∂̃p σ(r) = ∂̃p r.Considérons alors les e i ∈ dcl ̃L(M) comme dans le (∗) et pour tout i, le ei ′ ∈ M donnépar le (iii). On a montré que toute extension (au sens décrit ci-dessus) σ à ̃M d’un σ ∈Aut L eq(M eq /A ′ ) fixe ∂̃p r ; σ doit donc fixer tout les e i sauf un nombre fini, par définitiondes e i et donc tous les ei ′ sauf un nombre fini, par définition des e′ i. Par le corollaire (1.52)(appliqué dans le modèle M eq A), tous les e ′ ′ isauf un nombre fini ont une orbite finie, i.e. ilexiste I 0 fini tel que i ∉ I 0 implique ei ′ ∈ acl L(A ′ ) = A ′ , de plus comme ei ′ ∈ M, on a alorsei ′ ∈ A = A′ ∩ M.Pour tout x ∈ dcl ̃L(M), l’action de Aut L (M) sur x est bien définie car toute extension de σ ∈Aut L (M) à ̃M donnera la même image à x. Posons alors A ∗ = {x ∈ dcl ̃L(M) ∶ x est fixé par Aut L (M /A)}.Pour i ∉ I 0 , comme ei ′ ∈ A, on a (par définition de e′ i ), e i ∈ A ∗ . Tout automorphisme deAut ̃L(̃M/A ∗ ) fixe donc tous les e i qui ne sont pas dans I 0 , i.e. tous sauf un nombre fini. Ils’en suit donc que ∂̃p r est fixé par Aut ̃L(̃M/A ∗ ). Par l’hypothèse (∗∗), il existe s ̃L acl ̃L(A ∗ )-définissable qui a le même germe que r au dessus de ̃p.Comme r(c) est un code de R(c), il existe ϕ[ y, z] ∈ ̃L telle que pour tout c ∈ ̃M R(c) =ϕ[̃M, r(c)]. Soit alors la relation S définie par ϕ[ y, s(x)] ∈ ̃L acl(A ⋆ ). Quitte à remplacer S parl’union de ses conjugués au dessus de A ∗ , on peut supposer que S est A ∗ définissable et quepour tout t ⊧ ̃p∣M, S(t) est fini et contient R(t). Comme tout isomorphisme de Aut L (M /A)fixe A ∗ et donc S, il s’en suit que S ∩ M est Aut L (M /A)-invariant. Il suffit donc de montrerque c’est un ensemble définissable (dans M) pour savoir qu’il est A-définissable. Mais commeS est A ⋆ -définissable, il existe ψ[x, y, a] ∈ ̃L, où a ∈ A ⋆ , qui définit S. De plus, comme a ∈A ⋆ ⊆ dcl ̃L(M), il existe θ[ z, t] ∈ ̃L et m ∈ M tels que θ[̃M, m] = { a}. La formule ∃ z θ[ z, m]∧ψ[x, y, z] définit donc S et est équivalente à une formule sans quantificateurs χ[x, y, t]. Cetteformule définit donc, dans M, l’ensemble S ∩ M que l’on peut donc supposer A-définissable.Soit alors c ⊧ ̃p∣B∪p (qui existe par hypothèse) où B ⊆ M est tel B contienne A et r soit définisur B. On a alors R(c) ⊆ S(c) et donc f(c) ∈ S(c) ∩ M. Il s’en suit que f(c) ∈ acl L (Ac) =dcl L (Ac) par (ii). Il existe donc g L A -définissable telle que g(c) = f(c). On pose alors E ={x ∈ M ∶ f(x) = g(x)}. C’est un ensemble unaire qui est A ′ -définissable. Par (iv), il a un codee ∈ M, mais alors e ∈ dcl L (A ′ ) = A ′ et donc e ∈ A = A ′ ∩M, i.e. E est A-définissable. Commec ∈ E et c ⊧ p, on a bien E ∈ p et donc ∂ p f = ∂ p g.✠Revenons donc à la preuve de la proposition et montrons que f est A-définissable. CommeM est saturé, tout p ∈ S 1 (A) tel que son unique variable est dans les sortes dominantes,est de la forme tp L (c/A) pour c ∈ dom(M). Par le lemme (1.56), si g p est la fonction A-définissable telle que ∂ p f = ∂ p g P et l’ensemble {x ∶ f(x) = g P (x)} est A-définissable, ona S 1 (A) = ⋃ p∈S1 (A)[f(x) = g p (x)] (où [ϕ] est l’ouvert engendré par ϕ). Par compacité, ilexiste donc (D i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des ensembles A-définissables et (g i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des fonctionsA-définissables telles que f coïncide avec g i sur D i et les D i recouvrent M. Il s’en suit bienque f est A-définissable.∎25