mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closD’autre part soit N une extension assez saturée et homogène de M et supposons que toutautomorphisme de N fixe a si et seulement si il fixe X. Tout d’abord, comme X est Aut(N / a)-invariant et que N est assez saturé et homogène, il existe une formule ϕ[ x, y] telle queϕ[ x, a] définit X. Posons p = tp( a), l’ensemble de formules p[ y]∪{∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, a], y ≠a} n’est alors pas satisfaisable. En effet s’il l’était, il le serait dans N et il existerait donc σ unautomorphisme de N qui fixe X mais pas a ce qui contredit notre hypothèse. Il existe doncψ[ y] ∈ tp( a) telle que N ⊧ ∀ y(ψ[ y] ∧ ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, a]) ⇒ y = a. Il s’en suit doncque X est codé par a via ϕ[ x, y] ∧ ψ[ y].∎Définition 1.42 (Élimination des imaginaires) :Une théorie T élimine (faiblement) les imaginaires si tout ensemble définissable d’un modèle de Tadmet un code (faible). L’élimination (faible) est dite uniforme si tout ensemble définissable est codé(faiblement) uniformément.Une conséquence immédiate du lemme (1.39) est que si une théorie admet suffisamment deconstantes, alors elle a l’élimination des imaginaires si et seulement si elle a l’éliminationuniforme des imaginaires.La présentation qu’on a choisi de prendre ici passe par la notion de code mais, comme je l’aifait remarquer précédemment, l’élimination des imaginaires est essentiellement, et historiquement,liée à la question de représenter les classes d’équivalence définissables (qui sont enquelque sorte des points « imaginaires ») par de « vrais » points du modèle.Lemme 1.43 :Soit T une L-théorie, elle élimine uniformément les imaginaires si et seulement si pour toute L-formule qui définit une relation d’équivalence E dans T, il existe une L-formule qui défini unefonction f dans T telle que T ⊢ E[ x, y] ⇐⇒ f( x) = f( y).Proof . Supposons que T élimine uniformément les imaginaires et soit M ⊧ T et E une relationd’équivalence définissable. Comme les classes d’équivalence de E sont toutes définies par desformules de la forme E[ x, a], où a ∈ M, par élimination uniforme des imaginaires, il existeune L-formule ϕ[ x, y] telle que E[M, a] est codée via ϕ. La formule ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ E[ x, z]définit donc une fonction qui vérifie bien les propriétés voulues.Réciproquement, soit ϕ[ x, y] une L-formule, on définit E[ y, y ′ ] ∶= ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, y ′ ]qui est bien une relation d’équivalence. Par hypothèse, il existe une fonction définissable f Etelle que E[ y, y, ] ⇐⇒ f E ( y) = f E ( y ′ ). Il est alors facile de voir que f E ( a) code uniformémentϕ[M, a] via θ[ x, z] ∶= ∃ y ϕ[ x, y] ∧ f E ( y) = z).∎La notion d’imaginaire a été introduite par S. Shelah (voir [She78, Definition 6.2, p. 129]) àtravers la construction suivante, dont l’utilité en théorie des modèle n’est plus à démontrer.Définition 1.44 (T eq et M eq ) :Soit T une L-théorie, on lui associe un langage L eq qui contient, pour toute relation E[ x, y] ∅-définissable (où x et y ont la même longueur) telle que T ⇒ « E est une relation d’équivalence »,une sorte S E et un symbole de fonction f E ∶ S = → S E . Ce langage contient L sur la sorte S = (si L estdéjà un langage multi-sorté, la sorte S = est en fait une union de sortes...). On définit alors la théorieT eq qui contient T ramenée à la sorte S = et les formules ∀ x∀ y f E ( x) = f E ( y) ⇐⇒ E[ x, y].19