mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieLemme 2.56 :Soient (K, v) un corps complet de valuation discrète. Les extensions purement ramifiées de K sontexactement les corps de rutpures de polynomes d’Eisenstein.Proof . Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension purement ramifiée. Comme dans la preuve de laproposition (2.50), on montre que L est à valuation discrète et que si Π est une uniformisantede L et π une uniformisante de K et que [L ∶ K] = e alors ew(Π) = v(π) et L = K[Π]. Soit alorsP ∈ K[X] le polynôme minimal unitaire de Π. Montrons qu’il est d’Eisenstein. Tout d’abord,remarquons que si σ ∈ Aut(K alg /K), σ(Π) engendre une extension isomorphe à L et donc parunicité de l’extension de v (car K est hensélien), l’anneau de valuation de K[σ(Π)] muni d’uneextension w ′ de w à K alg est σ(O L ) et son idéal maximal est σ(Π O L ) = σ(Π)σ(O L ). Il s’ensuit donc que σ(Π) est une uniformisante de K[σ(Π)] muni de w ′ et donc que ew ′ (σ(Π)) =v(π) = ew(Π). Comme un groupe abélien totalement ordonné est sans torsion, on doit avoirw ′ (σ(Π)) = w(Π).Comme tous les coefficients de P peuvent s’exprimer comme des polynômes symétriquesdes racines dont les seuls coefficients sont des 1, il s’en suit tous les coefficients de P sauf lecoefficient dominant sont dans M L or M L ∩K = M K et donc tous les coefficients de P sauf lecoefficient dominant, sont dans M K . De plus a 0 est le produit des e conjugués de Π et doncv(a 0 ) = ew(Π) = v(π). On a donc bien montré que P est un polynôme d’Eisenstein.Supposons maintenant que L soit engendré au dessus de K par une racine b d’un polynômed’Eisenstein P de degré n. Comme les polynômes d’Eisenstein sont irréductibles (voir lemme(2.55)), [L ∶ K] = n. De plus par le même argument que précédemment, les conjugués de bont la même valuation et si a 0 est le coefficient constant de P, alors nw(b) = v(a 0 ) = v(π)et donc [Γ L ∶ Γ K ] ⩾ n or c’est aussi au plus n et donc l’extension est purement ramifiée. ∎Lemme 2.57 (Lemme de Krasner) :Soient (K, v) un corps complet et a et b ∈ K alg (muni d’une valuation w qui étend v) tel que asoit séparable au dessus de K[b]. Supposons que pour tout a ′ conjugué de a au dessus de K, on aitw(b − a) > w(a ′ − a), alors K[a] ⊆ K[b].Proof . Soit L une extension normale de K contenant a et b. Si a ∉ K[b], il a un conjugué audessus de K[b] et donc comme l’extension est normale il existe σ ∈ Aut(L/K[b]) qui ne fixepas a. Par unicité de l’extension de la valuation, on a v(σ(a) − b) = v(σ(a − b)) = v(a − b)et donc v(b − a) > v(σ(a) − a) = v(σ(a) − b + b − a) ⩾ v(b − a), ce qui est absurde. On adonc a ∈ K[b].∎Soit (K, v) un corps valué, on munit K[X] de la norme ∣ ∑ a i X i ∣ = max i (v(a i )).Corollaire 2.58 :Soient (K, v) un corps complet et P ∈ K[X] un polynôme unitaire irréductible et séparable. SiG ∈ K[X] est un polynôme unitaire de même degré tel que ∣P − Q∣ est assez grand, alors G est aussiirréductible et pour toute racine α de P (dans une clôture algébrique fixée de K) il existe une racineβ de Q tel que K[α] = K[β].Proof . Montrons tout d’abord que pour tout M ≠ ∞ il existe N ≠ ∞ tel que si ∣P − Q∣ > Nalors pour toute racine α de P il existe une racine β de Q telle que v(α − β) > M. Soient β i49