mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieLemme 2.36 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et x ∈ K(M) alors x est génériquedans une intersection stricte de boules A-définissables au-dessus de A.Proof . Soit P = ⋂{b ∈ B(A) ∶ x ∈ b}, il est alors évident que x est générique dans P audessus de A. Supposons alors que l’intersection ne soit pas stricte, P est donc une boule A-définissable. Soit γ son rayon, d’après le lemme (2.12), la boule de centre x et de rayon γ + 1est algébrique sur A. Elle est donc dans acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et est donc définissable surA. De plus elle contient x et est strictement contenue dans P, ce qui est absurde. ∎Définition 2.37 (f ⋆ p) :Soient M une L-structure, A ⊆ M, p un type sur A et f = (f i ∶ i ∈ I) une famille de fonctions A-définissables telle que pour tout i f i est défini sur les réalisations de p. Soit ϕ i [ x, y, a i ] qui définitf i , on peut alors considérer le typef ⋆ p = {ψ[ y i1 , . . . , y in , a ′ ] ∶ ∀ y i1 . . . y inn⋀ ϕ ij [ x, y ij , a ij ] ∧ ψ[ y i1 . . . y in , a ′ ] ∈ p}.j=1Définition 2.38 (Relative complétude) :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-définissables. Un A-typepartiel p est complet au dessus de A relativement aux f i si la fonction q ↦ f ⋆ q est injective de{q ∈ S(A) ∶ p ⊆ q} dans S(A).En particulier, pour vérifier qu’un type est complet au dessus de A relativement à f, il suffitde de vérifier que, dans un modèle assez saturé, pour tous c et c ′ qui réalisent ce type, sif(c) ≡ A f(c ′ ) alors c ≡ A c ′ .Lemme 2.39 :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-définissables. Un A-typepartiel p[ x] est complet au dessus de A relativement aux f i si et seulement si pour toute L A -formule ϕ[ x], il existe une L A -formule θ[ y] telle que p[ x] ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ θ[f( x)]), où f( x)représente le uplet des f i ( x).Proof . Supposons, tout d’abord, que p est complet au dessus de A relativement à f. L’ensemblede formules p[ x] ∪ p[ x ′ ] ∪ {θ[f( x)] ⇐⇒ θ[f( x ′ ) ∶ θ ∈ L A ]} ∪ {¬(ϕ[ x] ⇐⇒ ϕ[ x ′ ])} n’estpas satisfaisable (dans un extension N assez saturée de M) sinon on aurait f( x) ≡ A f( x ′ )mais pas x ≡ A x ′ , ce qui contredit notre hypothèse. Il existe donc (θ i ) i=1...n des A-formulestelles que pour tout x et x ′ réalisations de p, on ait :⋀(θ i [f( x)] ⇐⇒ θ i [f( x ′ )]) ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ ϕ[ x ′ ]).iPour tout σ ∶ ⟦1 . . . n⟧ → {0, 1}, on pose θ σ [ y] = ⋀ σ(i)=1 θ i [ y]∧⋀ σ(i)=0 ¬θ i [ y] et on définitX = {σ ∶ ∃ c ∈ N c ⊧ p et N ⊧ ϕ[ c] ∧ θ σ [f( c)]} et θ[ y] = ⋁ σ∈X θ σ [ y]. Soit alors c ⊧ pdans N , si N ⊧ ϕ[ c] alors, comme N ⊧ θ σ [f( c)] pour σ tel que σ(i) = 1 si et seulementsi N ⊧ θ i [f( c)], on a bien σ ∈ X et N ⊧ θ[f( c)]. Réciproquement, si N ⊧ θ[f( c)], il existeσ ∈ X tel que N ⊧ θ σ [f( c)], et donc il existe c ′ ⊧ p tel que N ⊧ θ σ [f( c ′ )] ∧ ϕ[ c ′ ]. On a39