mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProof . Soit x ∈ K, comme Γ K est un Z-groupe de plus petit élément strictement positif v(p),il existe n ∈ ⟦0 . . . k − 1⟧ et y ∈ K tel que v(x) = kv(y) + nv(p). D’après le lemme (2.20), ilexiste m ∈ ⟦1 . . . p 1+2v(k) ⟧ tel que v(m) = 0 et que est une puissance k-ième. Il s’enxy k p n msuit donc que x est dans la même classe d’équivalence que mp n modulo (K ⋆ ) k . Il existe doncbien un système de représentants dans Q et il est fini vu les bornes imposées à n et m. ∎Corollaire 2.22 :Soit (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K un sous-corps valué. Pour que A soit un modéle de pCF, il faut et ilsuffit que A soit Hensélien et A ⊧ ∀x P n x ⇒ ∃y x = y n .Proof . D’après la remarque (2.16), A vérifie bien tous les axiomes de pCF sauf la définition deP n et celui qui dit que pour tout n, [Γ A ∶ nΓ A ] = n. Comme par hypothèse A ⊧ ∀x P n x ⇒∃y x = y n , il suffit de montrer la réciproque. Soit donc x ∈ A tel que A ⊧ ∃y x = y n . Mais ona alors aussi K ⊧ ∃y x = y n , i.e. K ⊧ P n x et donc A ⊧ P x .De plus, soient x ∈ A et n ∈ N ∗ . Comme Γ K est un Z-groupe, il existe k ∈ ⟦0 . . . n − 1⟧ ety ∈ K tels que v(x) = nv(y) + kv(p). Par le lemme (2.20), il existe m ∈ Z tel que v(m) = 0 etxp −k y −n m −1 ∈ P n et donc xp −k m −1 ∈ P n . Comme la définition de P n est aussi vérifiée dansA, il existe y ∈ A tel que xp −k m −1 = y n et donc que v(x) ∈ kv(p) + nΓ A . ∎Pour finir prouvons un lemme technique sur Q p qui sera utile pour déterminer la clôturedéfinissables dans pCF.Lemme 2.23 :On a ⋂ k⩾1 (Q p ) k = {1}.Proof . Soit x ∈ ⋂ k⩾1 (Q p ) k , quitte à le remplacer par x −1 , on peut supposer que x ∈ Z pet on a alors x ∈ ⋂ k⩾1 (Z p ) k . Pour tout k il existe donc y tel que y pk−1 = x, mais y peuts’écrire comme ∑ i y i p i , où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧ et donc en posant y ′ = ∑ k−1i=0 a ip i ∈ Z et y ′′ =∑ i⩾k a i p i−k , on a y = y ′ + p k y ′′ . D’après le petit théorème de Fermat, on a y ′pk−1 ≡ 1mod p k et donc, en appliquant un binôme de Newton, il existe z ∈ Z p tel que y pk−1 = 1 +p k z. Il s’en suit donc que pour tout k ∈ N, il existe z tel que x = 1 + p k z. Par unicité dudéveloppement en série p-adique de x, on a donc x = 1.∎2.2 Clôture algébrique et définissable dans pCFCette section se propose de démontrer quelles sont les clôtures algébriques et définissablesdans pCF, comme on l’a fait à la remarque (1.32) pour ACVF.Proposition 2.24 :Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K, on a alors A alg ∩ K ⊧ pCF.Proof . D’après le corollaire (2.22), il suffit de montrer que K ′ = A alg ∩ K est Hensélien etK ′ ⊧ ∀x P n x ⇒ ∃y x = y n . Soient alors P ∈ O K ′[X] et a tel que res(P(a)) = 0 et res(P ′ (a)) ≠0. Ces même conditions sont vérifiées dans K qui est hensélien, il existe donc b ∈ O K telque P(b) = 0 et res(b) = res(a). Mais ce b est alors algébrique sur K ′ qui est relativementalgébriquement clos dans K, donc b ∈ K ′ . Le corps K ′ est donc bien Hensélien.35