mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieSoit maintenant x tel que B ⊧ P n (x). Si x = 0 alors c’est évident, sinon il a donc une racine n-ième dans K, notée y. Soit k ∈ N ⋆ , par le corollaire (2.21), il existe q ∈ Q ⋆ tel que qy ∈ (K ⋆ ) k .Mais on a alors σ(qy)/qy = qσ(y)/qy = σ(y)/y ∈ (K ⋆ ) k . De plus σ(y)/y est une racinen-ième de a/a = 1. Il s’en suit que σ(y)/y ∈ dcl(∅) ⊆ Q p . Par le lemme (2.23), on a alorsσ(y)/y = 1 et donc y ∈ B, i.e. B ⊧ ∃y x = y n .∎Corollaire 2.29 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors dcl(A) = acl(A) = A alg ∩ K.Proof . Quitte à en prendre une extension élémentaire, on peut supposer que K est assez saturéet homogène. Il suffit alors de montrer que tout σ ∈ Aut(K/A) fixe A alg ∩ K. Mais comme σfixe A alors σ fixe (globalement) acl(A) = A alg ∩ K. Mais on a montré dans la proposition(2.28) que A alg ∩ K est rigide au dessus de A, il est donc fixé point par point. ∎On peut alors en déduire, comme le fait van den Dries dans [Dri84] que pCF admet des fonctionsde Skolem définissables. Pour cela on fait appel au critère suivant.Lemme 2.30 (Critère pour les fonctions de Skolem) :Soit T une théorie qui élimine les quantificateurs, alors T admet des fonctions de Skolem définissablessi et seulement si tout A ⊧ T ∀ se plonge dans un modèle A ⊧ T qui est algébrique et rigideau dessus de A.Proof . Voir [Dri84, Théorème 2.1]Corollaire 2.31 :La théorie pCF admet des fonctions de Skolem définissables.Proof . Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K. D’après la proposition (2.24), A alg ∩ K est un modèle depCF, algébrique au dessus de A. Mais par la proposition (2.28), il est rigide au dessus de A.On peut donc conclure par le lemme (2.30).∎Remarque 2.32 :Ces résultats seront utilisés dans la dernière section, mais il faut faire attention qu’on sera alorsdans une extension définissable d’une partie de L eq . Les résultats qu’on a démontré restent vraisdans ce langage, à condition de considérer des ensembles de paramètres et des variables du corpsseulement.∎2.3 Types dans pCFLa section qui suit est une reprise des résultats de la section 4 de [HM08], dans le cas particulierde la théorie pCF. Dans ce qui suit, on notera B l’ensemble des boules. En particulier, si Kest un corps valué et A ⊆ K, on note B(A) l’ensemble des boules A-définissables. Si b ∈ B(A),on notera x ∈ b pour ϕ[x], où ϕ est une L A -formule qui définit b. De plus, si M eq ⊧ pCF eq ,on notera K(M) la sorte du corps.37