mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closun symbole de fonction τ n ∶ T n → S n et un symbole de fonction ν n ∶ K n × S n → T n . Enfinpour toute formule atomique ϕ[ x 1 , . . . , x n , y], où x i est un n 2 i-uplet de variables de corps, on aun symbole ϕ ⋆ [z 1 , . . . , z n , y], où les z i sont des variables dans S ni .Soit (K, v) un corps valué, on en fait une L G div -structure KG en interprétant K par le corps,pour tout n ⩾ 1 S n par S n (K) et T n par T n (K). On pose :– ∈ n (a, s) si et seulement si a ∈ s ;– τ n (t) = s si et seulement si t ∈ res(s) ;– ν n (a, s) = a + M s si a ∈ s sinon ν n (a, s) = M n ;– ϕ ⋆ (s 1 , . . . , s n , a) si et seulement si, dans K alg , ϕ[x 1 , . . . , x n , a] ∈ q s1 ,...,s n.Il se pose alors la question de savoir si on a bien défini une extension définissable de L eqdiv .Pour ce qui est des symboles ∈ n , τ n et ν n , même si ce ne sont pas directement des symbolesde L eq , il n’est pas dur de voir qu’ils sont définissables (dans la théorie des corps valués). Pourdivce qui est des ϕ ⋆ , le problème est un peu plus compliqué. Comme q s est un type définissable(uniformément en s), il s’en suit que dans ACVF eq , les ϕ ⋆ sont bien définissables. On notedonc ACVF G m,n la théorie des corps valués algébriquement clos de caractéristique (m, n),dans le langage L G (qui est bien une théorie complète). On a donc pour toute formule sansdivquantificateurs ϕ[ x 1 , . . . , x n , y] une formule θ telle que ACVF G ⊢ ϕ ⋆ [z 1 , . . . , z n , y] ⇐⇒θ[z 1 , . . . , z n , y]. La formule θ[f( x)], où f est la surjection canonique de K n vers les autressortes, est alors une formule à variables dans le corps qui est donc équivalente, par éliminationdes quantificateurs dans ACVF, à une formule ψ[ x] sans quantificateurs. On a alors ACVF eq ⊢∀ x 1 x 2 , f( x 1 ) = f( x 2 ) ⇒ ψ[ x 1 ] ⇐⇒ ψ[ x 2 ] et doncACVF G ⊢ ϕ ⋆ [ z] ⇐⇒ (∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]) ⇐⇒ (∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x]). (1.1)On peut alors montrer que si (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corps valués alors K G ⊆ L G .En effet, si s ∈ S n (K) alors O L s ∈ S n (L) et O L s ∩ K n = s. On peut donc injecter S(K)dans S(L) en respectant les ∈ n . Il s’en suit facilement qu’on peut aussi injecter T (K) dansT (L) en respectant les τ n et les ν n . Reste alors le problème de savoir si les ϕ ⋆ sont respectés.Cependant, comme K alg ≼ L alg (en munissant L alg d’une valuation qui étend w et K alg dela restriction de cette valuation), on a (K alg ) eq ≼(L alg ) eq et comme L G est une extension définissabledans les corps valués algébriquement clos (K alg ) G ≼(L alg ) G . Comme pardivdéfinitionϕ ⋆ [K G ] = ϕ ⋆ [(K alg ) G ] ∩ K G , on a ϕ ⋆ [L G ] ∩ K G = (ϕ ⋆ [(L alg ) G ] ∩ L G ) ∩ K G = ϕ ⋆ [(L alg ) G ] ∩(K alg ) G ) ∩ K G = ϕ ⋆ [(K alg ) G ] ∩ K G = ϕ ⋆ [K G ].Il s’en suit que les ϕ ⋆ sont en fait définissables par les même formules qu’en (1.1). En effet,soit (K, v) un corps valué quelconque, on a alors, par définition K G ⊧ ϕ ⋆ [ z] si et seulementsi (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [ z] et donc (K alg ) G ⊧ ∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]. Comme ψ est sans quantificateurs,on a donc K G ⊧ ∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]. Mais comme (K alg ) G ⊧ ACVF G , et que K G ⊆ (K alg ) G ,on a aussi K G ⊧ ∀ x 1 x 2 , f( x 1 ) = f( x 2 ) ⇒ ψ[ x 1 ] ⇐⇒ ψ[ x 2 ] et donc K G ⊧ (∀ x f( x) =z ⇒ ψ[ x]) ⇐⇒ (∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x]). Comme cette dernière formule est existentielle, siK G ⊧ ∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x], on a aussi (K alg ) G ⊧ ∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x], d’où (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [ z] etdonc K G ⊧ ϕ ⋆ [ z]. On a donc bien démontré que tout corps valué vérifie en fait la formule(1.1) et donc qu’on a bien défini une extension définissables du langage dans tout corps valué.28