Une utilisation non monotone du calcul propositionnel clas - Laurent ...

Une utilisation non monotone du calcul propositionnel classique
pour le diagnostic
(Research report 1995 submitted to RFIA96 : refused)
Laurent Henocque
Laboratoire d'Informatique et de Mathématiques de Marseille
(LIM), Université de la Méditerranée
LSIS (UMR CNRS 6168)
Bâtiment Henri Poincare - Case Cour A
Campus Scientifique de St Jérôme
avenue Escadrille Normandie Niemen
13397 MARSEILLE Cedex 20
e-mail : lh@lsis.org
Résumé
Nous étudions l’exploitation non monotone de bases de connaissances écrites en
calcul propositionnel classique. Appelées bases d’exemples, elles permettent de
décrire héritage et exceptions, pour des connaissances ne comportant pas de
relations. Reposant sur la relation habituelle d’inférabilité, nous disposons de
procédures de preuve correctes, complètes et décidables, et d'un lien naturel entre
les preuves sémantique et formelle. Notre approche utilise des numéros d’exemples
explicites et permet de construire des bases d’exemples dites sémantiquement
modulaires : l’ajout d’exemples nouveaux ne nécessite pas de refonte globale
de la formule. Nous isolons une gamme de relations d’inférabilité de sens commun
qui comprennent l’inférence classique, et vont jusqu’à une inférence abductive :
cette progressivité présente un intérêt particulier pour le diagnostic. Nous avons
testé nos propositions de façon informatique sur un cas concret, en utilisant pour
cela un algorithme de recherche de modèles qui s’avère particulièrement adapté.
Mots clef
raisonnement non monotone, raisonnement de sens commun, abduction, représentation de la
connaissance, bases d’exemples, systèmes d’identification, modularité sémantique.

Introduction
Cette recherche a été motivée par la volonté de représenter à l’aide du calcul propositionnel une base
de connaissances permettant le diagnostic de maladies de plantes. Il ne s’agit pas ici de diagnostic
au sens de Reiter (“A Theory of diagnosis from first principles” [Reiter 87], également
[de Kleer et al. 90]) : déterminer les composants fautifs d’un système défectueux dont ne sont connus
que les principes de fonctionnement correct. Notre problème est l’identification d’une maladie décrite
au système par l’observation de ses symptômes. Une base de connaissances combine des connaissances
générales sur les plantes comme "les plantes à feuilles caduques n'ont pas de feuilles en
hiver", et des faits précis sur chaque variété, soit descriptifs de la plante comme par exemple "les
aralias ont des feuilles palmées", soit descriptifs de maladies et de symptômes : "les hortensias
ayant des pucerons ont les feuilles déformées et des petits insectes verts". Ce type de base de
connaissances permet à volonté soit de déterminer la maladie dont est atteinte une plante en
général inconnue au départ dont on décrit au système quelques propriétés (c'est un diagnostic), ou
bien de lister les caractéristiques d'une plante connue par son nom (système d'information). Le
système doit déduire “hortensia, pucerons” à partir des seules informations “feuilles rondes, boules
de fleurs roses, feuilles déformées”, si cela est pertinent. L’étude d’un cas concret (cf. [Henocque 95])
a conduit a observer des difficultés auxquelles ce papier tente d’apporter une réponse.
En simplifiant énormément, imaginons une base d'exemples qui ne décrive de "rouge" qu'un gros
camion rouge, parmi d'autres véhicules. On veut que "rouge" permette de déduire "gros camion".
Cette inférence est en fait une association d'idées ("rouge" évoque l'unique gros camion rouge connu)
et doit évidemment disparaître en présence de faits supplémentaires décrivant d'autres objets
rouges.
La formulation de connaissances comme combinaison d’un ensemble de règles générales et d’un
ensemble d’instances connues est fondamentale dans les logiques de description (terminological
logics) où ces notions sont séparées dans deux structures indépendantes, la TBox, et la ABox (voir
[Brachman et al. 85] pour les origines, également [Baader et al. 90]). Cette problématique est
abordée dans un autre domaine par [Golding et al. 91] qui illustre bien l’apport du raisonnement
fondé sur les cas (cf. [Edelson 93], Kass et al. 88]) aux langages à base de règles. Les logiques de
description et les règles d'inférence sont au niveau du calcul des prédicats. Notre champ est limité
au calcul propositionnel “brut”, avec l’ambition d’atteindre une gamme particulière d'applications de
l'intelligence artificielle que l'on peut qualifier de systèmes d'identification : qui permettent
d'identifier un "objet" ou un concept à partir de quelques propriétés. Notre intuition, avec d'autres
auteurs ([Craddock 93]), est que l’on peut en faire plus avec des langages logiques standard que ce
que l’on pense couramment. Craddock affirme dans [Craddock 93]que la complexité des techniques
mises en oeuvre (via l’ajout de caractéristiques extra-logiques au langage : modalités, défauts par
ex.) n’est pas nécessairement indicative de la complexité intrinsèque du problème. L’utilisation du
calcul propositionnel garantit l’existence de procédures de preuve correctes, complètes et décidables.
L’étude de cas concrets montre que la complexité théorique NP-difficile du problème tel qu’il est
abordé n’est jamais atteinte et autorise des performances compatibles avec l’utilisation pratique.
Nos bases de connaissances sont appelées bases d'exemples. Elles permettent de décrire de

l’héritage avec exceptions. La distinction entre connaissances assertionnelles (les exemples) et
connaissances générales y est purement conceptuelle, et n’influe pas sur la structure du système ou
de la formule : nous n’avons ni TBox ni ABox.
Le langage du calcul propositionnel est adapté à la représentation de données où ne figurent pas ou
peu de relations entre objets. C'est pourtant un véritable casse tête de construire avec ce seul
langage une base d'exemples dont tous les théorèmes sont utiles. En effet, la représentation obtenue
est absolument non modulaire : l'ajout ou la modification d'un exemple imposent parfois des
modifications globales ou bien altèrent une connaissance générale qui décrit inévitablement des
axiomes obtenus par induction. Nous dirons qu'une base de connaissances qui peut être complétée
ou modifiée dans un certain cadre sans nécessiter de changements diffus est sémantiquement
modulaire. Cette modularité sémantique permet de concevoir des systèmes facilement, par simple
ajout de données nouvelles. Toutes les approches du raisonnement non monotone, qui visent cette
modularité, étendent les mécanismes habituels de déduction pour obtenir des théorèmes reconnus
pertinents sans devoir effectuer à la main les adaptations non modulaires normalement requises.
Pour cela, on utilise soit (1) des ajouts au langage (logiques de défaut ([Reiter 80]), logiques modales
([McDermott 82], [Schwind et al. 94]), possibilistes ([Dubois et al. 93])), soit (2) des algorithmes de
transformation partiellement automatisables (complétion de prédicat ([Console et al. 91]), fermeture
d'arbres d'héritage ([Asady et al. 93])), soit (3) des algorithmes en oeuvre à l'exploitation de la
formule (cirsconscription ([Mc Carthy 80], modèles préférentiels en général [Besnard et al. 88]),
statistiques ([Kyburg 83], [Craddock 93])). On trouve dans [Kraus et al. 90] et [Lehmann et al. 92]
une étude détaillée des propriétés des relations de déductions non monotones. [Schwind et al. 94]
montre que la logique des défauts est d’une puissance expressive moindre que les logiques modales.
Toutes ces approches possèdent des avantages et des inconvénients. Nous nous plaçons dans le cas
(3) (une formule classique est exploitée sans transformation), arguant du fait que les relations non
monotones d'inférabilité que nous définissons sont intuitives (i.e. leurs effets sont conformes à ce
qu'attend un humain), sont assez riches pour être utilisables, et permettent un degré élevé de
modularité sémantique. Nous évitons des difficultés pointées par certains auteurs. Asady et
Narayanan ([Asady et al. 93]) discutent des difficultés liées aux algorithmes de plus court chemin
qui nécessitent de mentionner des liens d’héritage redondants dans les logiques terminologiques.
[Console et al. 91] évoque les difficultés liées au contrôle des techniques de complétion de prédicats,
qui permettent d’obtenir de façon déductive des théorèmes qui ne peuvent être atteints qu’abductivement
dans la formule de départ. [Baader et al. 93] montre dans les logiques terminologiques de
défauts la nécessaire prise en compte d’un ordre partiel sur les défauts pour atteindre les fonctionnalités
voulues.
hypothèse fondamentale
Nous distinguons (a) la théorie qui décrit les propriétés générales du monde ("tous les oiseaux
volent sauf les autruches") et les exemples, et (b) le contexte qui justifie un raisonnement à un
moment donné, en décrivant une situation observée sur laquelle on doit raisonner ("je vois une
autruche : vole t'elle?"). Notre approche utilise ce contexte de façon non classique. Habituellement,
étant donnés ψ une formule représentant une théorie, et C une formule représentant une situation

observée, on considère que les conséquences de ψ dans le contexte de C sont décrites par la
fermeture déductive Th(ψ∧C). Notre approche permet d'atteindre non seulement ces théorèmes
classiques, mais également plusieurs classes de théorèmes obtenus de façon non monotone
relativement au contexte. Ce dernier sert non seulement à décrire les propriétés logiques de la
situation observée, mais également les associations d'idées qui permettent de réduire le champ des
possibilités. On ne peut dans ce cadre raisonner sur la base des seules conséquences de ψ∧C. La
théorie et le contexte sont clairement séparés.
Plan
Nous présentons de façon informelle notre cadre de travail dans la partie 1. En partie 2 on trouve un
exposé formel du langage et des relations d’inférabilité non monotones. La partie 3 explore plus en
détail certaines propriétés intéressantes de ces relations par rapport aux raisonnements classique
et abductif. La partie 4 étudie un exemple de façon détaillée, et illustre les différents aspects du
système. 5 compare notre approche avec d’autres. La partie 6 conclut et présente différentes
perspectives de recherche pour ce problème très ouvert.
1. Présentation générale et hypothèses de travail
Soit L un langage du calcul propositionnel, basé sur un ensemble V de variables propositionnelles.
Une classe remarquable de propositions de L est constituée par les exclusions mutuelles : pour p1,
…pn n propositions, l'exclusion mutuelle de p1,…pn signifie : "exactement une des propositions p1,
…pn est vraie", et est représentée par la formule :
(p1 ∨ p 2 ∨…∨ p n) ∧ (∧ 1

ψ 1 ⏐− noir ⇒(aigle ∧ oiseau ∧ vole)
ψ 1 ⏐− doré⇒(aigle ∧ oiseau ∧ vole)
ψ 1 ⏐− gris ⇒(autruche ∧ oiseau ∧¬vole)
Ces théorèmes de ψ 1 dépendent de contraintes très fortes. Les exclusions mutuelles réduisent le
nombre de modèles possibles, et permettent ainsi de les obtenir. Or maintenir des contraintes très
fortes est toujours difficile, car elles résistent mal à l'incorporation d'exemples nouveaux. ψ 1 possède
une structure de base d'exemples explicite du type ψ 1 = (φ ∧ E), ou E décrit les exemples, et φ les
règles qui s'y appliquent. On voit que l'on peut utiliser le calcul propositionnel pour réaliser des
systèmes de diagnostic, avec des connaisances par défaut (tous les oiseaux volent sauf les
autruches), et on pourrait même s'interroger sur la nécessité d'étendre ce cadre naturel. Etudions
maintenant un cas typique de non modularité. Pour cela, voyons ce qui se produit si nous désirons
décrire un peu mieux l'exemple de l'aigle doré. Remplaçons la ligne 8 par la suivante :
"8:(aigle ∧ doré ∧ marahuté)".
La proposition "marahuté" est ici volontairement non discriminante : c'est une propriété de "aigle ∧
doré" ; mais elle est logiquement compatible avec tous les (autres) exemples. On se convainc
aisément de ce que la plupart des théorèmes originaux demeurent. On souhaiterait toutefois
disposer du raisonnement non monotone suivant :
ψ 2 ∧ marahuté ⏐− (aigle ∧ doré ∧ vole)
Cette inférence est une association d'idées (et même ici un raisonnement abductif), mais elle est
utile à la réalisation de systèmes de diagnostic (citationXXX). Pour l'atteindre de façon classique
dans notre exemple, il faudrait ajouter la négation de "marahuté" à tous les exemples. Si un
nouveau nom d'exemple devait apparaître, il faudrait décrire une nouvelle exclusion mutuelle, et
prévoir également le cas des exemples dont le nom est inconnu, ce qui devient difficile (un nom
réputé inconnu n'est normalement incompatible avec aucun autre nom). Le problème posé ici est
clairement celui de la modularité. L'apparition d'une propriété nouvelle requiert des modifications
répétitives dans toute la formule pour permettre de continuer à raisonner de façon classique. On
pourra objecter que ce n'est pas si difficile, une fois qu'une exclusion mutuelle a été définie, de lui
ajouter un symbole nouveau. Un examen approfondi, et dans notre cas la démarche d'utiliser le
calcul propositionnel pour décrire un système complet de diagnostic de maladies de plantes, montre
que les exclusions mutuelles posent encore d'autres problèmes non triviaux, dont celui de la
composition : comment décrire la couleur "bleu vert", ou le prénom "Jean Pierre" de façon naturelle?
En effet, si les propositions "Jean" et "Pierre" sont exclusives, "Jean ∧ Pierre" est universellement
faux. Et utiliser la formule "Jean ∨ Pierre" n'est pas non plus satisfaisant pour d'autres raisons. Un
intérêt majeur de notre modèle est de permettre d'éviter le recours aux exclusions mutuelles
“naturelles”.
Notons que les langages de défauts visent à atteindre une modularité sémantique qui ne nous
intéresse pas à ce stade. La ligne 5 de ψ 1 décrit le fait que les oiseaux volent par défaut, mais n'est
pas modulaire : toutes les exceptions doivent y être mentionnées. Le modèle que nous décrivons

permet aussi d'atteindre la modularité sur les défauts, mais nous ne voulons pas compliquer
inutilement le présent exposé.
Voici maintenant quelle est la structure d'une base d'exemples selon notre modèle. Nous étendons le
langage L pour former L' par l'addition d'un ensemble remarquable de symboles propositionnels: N=
{1,2,3,4,5…} soumis à une exclusion mutuelle implicite. Les noms de symboles 1,2,…n représentent
les numéros des exemples et n'ont aucune connotation arithmétique autre que celle de décrire un
nombre illimité de symboles remarquables. La base d'exemples ψ 2 se récrit en ψ 3 ou la ligne 2 est
supprimée, et les lignes 7,8,9 sont changées comme suit :
1: "exclusion mutuelle entre espèces : aigle, autruche…"∧
2': vrai ∧
3: (aigle ⇒ oiseau) ∧
4: (autruche ⇒ oiseau) ∧
5: (¬oiseau ∨ vole ∨ autruche) ∧
6: (autruche ⇒ ¬vole) ∧ (
7': 1 ∧ aigle ∧ noir ∨
8': 2 ∧ aigle ∧ doré ∧ marahuté ∨
9': 3 ∧ autruche ∧ gris )
La signification intuitive de 8' est : le deuxième cas d'animal connu est un aigle doré dont le nom est
"marahuté". L'exclusion mutuelle implicite entre n1,n2 et n3 représente en puissance toutes les
exclusions mutuelles pertinentes, et permet des raisonnements utiles via une relation d'inférabilité
adéquate. Nous aurons à la fois la possibilité d'étendre de façon modulaire la connaissance décrite
par une telle base d'exemples, et celle de déduire (par association d'idées) que "marahuté est un
aigle" comme celle de déduire (de façon classique) que "les aigles volent".
2. Langage et sémantique
Définition : Soit L un langage du calcul propositionnel défini à l'aide des connecteurs usuels ∧, ∨, ¬
("et", "ou", "non"), et d'un ensemble V de propositions contenant un ensemble fini N = {1, 2, ..., n}
dont les éléments représentent les numéros d'exemples.
SL est l'ensemble des formules satisfiables de L.
AL est l'ensemble des littéraux de L.
BL est l'ensemble des bases d'exemples de L, définies ci après.
2.1. Bases d'exemples
Définition : ∀ ψ ∈ SL (satisfiable), ψ est une base d'exemples ssi ψ implique logiquement
l'exclusion mutuelle des propositions de N = {1,2, ..., n} :
ψ ⏐− (1 ∨ 2 ∨…∨ n) ∧ (∧ 1

de démonstrateurs automatiques), mais facilite l'obtention de certaines propriétés, ainsi que la
compréhension générale du problème. Elle permet par ailleurs de formuler les bases d'exemples
comme ci avant plutôt que sous forme d'une conjonction de règles (du type
"1 ⇒ (aigle ∧ noir ∧ vole ∧ oiseau)"). Nous verrons par la suite comment elle autorise la suppression
d'exclusions mutuelles normalement nécessaires pour une représentation d'informations utilisable,
i.e. fournissant des théorèmes utiles et pertinents.
Etant donnée ψ une base d'exemples, nous notons N(ψ) l'ensemble (non vide par définition) des
numéros des exemples "décrits" par ψ :
Définition : ∀ ψ ∈ BL, N(ψ) = {n ∈ N ⏐ ψ ∧ n ∈ SL (est satisfiable)}.
Dans notre exemple, N(ψ) = {1, 2, 3}.
2.2. Théorèmes caractéristiques
Pour toute formule F de L, nous considérons l'ensemble A(F) de ses théorèmes caractéristiques.
Définition : ∀ F ∈ L, A(F) l'ensemble des théorèmes caractéristiques de F est :
A(F) = AL ↔ Th(F)
Par définition de AL, ces théorèmes sont les théorèmes atomiques, ou monolittéraux. Ce choix n'est
pas le seul possible - nous aurions pu choisir comme formules caractéristiques toutes les formules à
un ou deux atomes par exemple - mais est justifié par sa pertinence en pratique (l'être humain
détermine assez facilement des théorèmes atomiques, mais rencontre des difficultés au delà).
2.3. Contextes
Une base d'exemples décrit un ensemble de situations connues, clairement distinguées puisqu'on
peut les numéroter. Nous voulons définir un mode de raisonnement par lequel une situation
observée, appelée contexte, caractérise de façon non monotone des ensembles d'exemples
pertinents, sur lesquels on raisonne ensuite de façon classique.
Définition : Un contexte C est une formule satisfiable de L.
Exemple : supposons que vous connaissiez divers véhicules par leurs marques, couleurs, modèles
etc.…. Si l'on vous dit "rouge" (c'est le contexte), vous restreignez le champ de votre connaissance à
l'ensemble des véhicules rouges (ce processus n'est pas purement déductif), pour ensuite déduire (ici
véritablement) "camion" si les seuls véhicules rouges connus par vous en sont.
2.4. Classes de référence
Etant donnés un contexte C, et ψ une base d'exemples, nous caractérisons les ensembles d'exemples
décrits par ψ qui sont pertinents pour C. Ces ensembles sont appelés les classes de référence
de ψ pour C. Une classe de référence est par définition un ensemble d'exemples compatibles

avec le contexte et ayant un nombre minimal de conséquences caractéristiques en commun avec lui :
Définition : ∀ ψ ∈ BL, ∀ C ∈ SL, ∀ i ∈ [0,⏐A(C)⏐], R(ψ,C,i), la classe de référence de ψ pour C de
rang i, est définie par :
R(ψ,C,i) = {n ∈ N ⏐ ψ ∧ C ∧ n ∈ SL et ⏐A(ψ ∧ n) ↔ A(C)⏐≥ i}
Le terme "classe de référence" est emprunté à [Craddock 93] et [Kyburg 83], bien qu'il diffère de
l'acception qu'en donnent ces auteurs, qui se situent dans un cadre probabiliste. L'intuition
justifiant le choix de cette distance est la suivante : les classes de référence servent à définir des
relations d'inférabilité dont le bien fondé est attesté par l'utilité reconnue des méthodes de "pattern
matching".
Exemple : pour C = noir ∧ gris, dans l'exemple introductif, on a :
R(ψ,C,0) = {1,2,3},
// tous les oiseaux
R(ψ,C,1) = {1,3},
R(ψ,C,2) = ∨.
// l’aigle noir et l’autruche
// rien
Exemple : avec C = vole∧ doré, on a :
R(ψ,C,0) = {1,2},
// les deux aigles
R(ψ,C,1) = {1,2},
R(ψ,C,2) = {2}.
// les deux aigles
// le seul aigle doré
Note : la condition ⏐A(ψ ∧ n) ↔ A(C)⏐≥ i est équivalente à ⏐A((ψ ∧ n)∨ C)⏐≥ i.
Propriété : une classe de référence ne peut jamais contenir d'exemples logiquement incompatibles
avec le contexte. En particulier, la classe de référence de rang 0 contient tous les numéros d'exemples
logiquement compatibles avec le contexte :
R(ψ,C,0) = ∅ ssi ψ ∧ C ∉SL(est inconsistant).
Bien sûr, plus le rang i augmente, plus la classe de référence associée est petite :
∀ i,j ∈[0,⏐A(C)⏐], i < j implique R(ψ,C,i) ⊇ R(ψ,C,j)
Lorsque ψ ∧ C ∈ SL, on définit Imax(ψ,C) comme le plus grand i ∈ [0,⏐A(C)⏐] tel que R(ψ,C,i) est
non vide.
2.5. La relation d'inférabilité ⏐~ψ,C,i
Définition : à toute classe de référence R(ψ,C,i) nous associons une formule disjonctive S(ψ,C,i) =
∨R(ψ,C,i) décrivant l'alternative des exemples qui y figurent.
Le rôle de la formule S(ψ,C,i) est de restreindre les modèles de ψ ∧ C aux seuls qui nous
intéressent, afin de définir la relation d'inférabilité ⏐~ψ,C,i :

Définition : ∀ ψ ∈ BL, ∀ C ∈ SL, ∀ i ∈ [0,⏐A(C)⏐], nous définissons ⏐~ψ,C,i par:
∀ F,G ∈ SL : F ⏐~ψ,C,i G ssi F ∧ ψ ∧ C ∧ S(ψ,C,i) ⏐− G
Sur cette base, on définit également Thψ,C,i(F) pour tout F.
Exemple : avec C = vole∧ doré, dans l'exemple du début, on a :
R(ψ,C,0) = {1,2}, Thψ,C,0(true) = {oiseau, vole, aigle}
R(ψ,C,1) = {1,2},
R(ψ,C,2) = {2},
Thψ,C,1(true) = {oiseau, vole, aigle}
Thψ,C,2(true) = {oiseau, vole, aigle, doré, marahuté}.
Pour le rang 2, ⏐~ψ,C,i a donc permis de "retrouver" l'unique exemple qui vole et qui est doré. (Noter
que le contexte "C = doré" aurait suffi dans ce cas). Cela illustre la capacité à cette relation
d'inférabilité à combiner raisonnement classique (on démontre "aigle" et "oiseau" pour le rang 0) et
raisonnement "abductif.
Exemple : pour C = noir ∧ gris, on a :
R(ψ,C,0) = {1,2,3}, Thψ,C,0(true) = {oiseau} // l’aigle noir ou l’autruche
R(ψ,C,1) = {1,3}, Thψ,C,1(true) = {oiseau} // l’aigle noir ou l’autruche
R(ψ,C,2) = ∨.
// non significatif
Ici le contexte est ambigu, car il décrit des propriétés jamais observées simultanément pour un
exemple. Cela explique que l'on n'obtienne aucun théorème intéressant. Dans les deux cas toutefois,
on remarque que la relation d'inférabilité ⏐~ψ,C,0 fournit tous les théorèmes classiques de ψ ∧ C.
3. Propriétés de ⏐~ψ,C,i
Les relations d'inférabilité ⏐~ψ,C,i dépendent de façon non monotone de la base d'exemples et du
contexte. Par contre, ces éléments étant constants, ⏐~ψ,C,i est définie sur la relation classique
d'inférabilité, et donc possède les propriétés habituelles du calcul propositionnel.
L'ensemble des relations ⏐~ψ,C,i présentent l'intérêt de décrire de façon progressive des mécanismes
de raisonnement qui vont de l'inférence classique (obtenue pour i valant 0) à une inférence fondée
sur une sélection abductive des exemples (obtenue pour i valant ⏐A(C)⏐ lorsque c'est possible). Les
valeurs croissantes de i déterminent des théorèmes de plus en plus faibles.
D’un point de vue épistémique, cette méthode permet aussi de tenir compte à priori de la possibilité
d'obtenir ces théorèmes afin de construire une formule plus simple pour représenter une information
donnée. Il est notamment possible d'économiser l'écriture des exclusions mutuelles “naturelles”.
Les relations ⏐~ψ,C,i obtenues pour les valeurs limites de i sont intéressantes par leur lien avec le
raisonnement classique et le raisonnement abductif, ce que nous étudions maintenant.
2.1. ⏐~ψ,C,0 correspond à l'inférence classique
∀ ψ ∈ BL, ∀ C,F ∈ SL : ⏐~ψ,C,0 F si et seulement si ψ ∧ C ⏐− F.

Preuve : Par l'exclusion mutuelle portant sur les éléments de N dans ψ, il ne peut exister un modèle
de ψ ∧ C qui ne soit un modèle de S(ψ,C,0), sauf à contredire la définition de R(ψ,C,0)
= {n ∈ N ⏐ ψ ∧ C ∧ n ∈ SL}. Donc ψ ∧ C ⏐= S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- ψ ∧ C ∧ S(ψ,C,
0) ⏐- F.
3.1. Lien entre ⏐~ψ,C,i et l'abduction
Un cas limite remarquable est celui ou Imax(ψ,C) = ⏐A(C)⏐. Les conséquences caractéristiques des
exemples sélectionnés contiennent alors celles du contexte :
∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), A(C) χ A(ψ ∧ n)
(Par définition de R(ψ,C,⏐A(C)⏐): {n∈N ⏐ ψ ∧ n ∈ SL et ⏐A(ψ ∧ n) ↔ A(C)⏐=⏐A(C)⏐}).
Il n'est pas possible toutefois d'en déduire que les exemples sélectionnés impliquent logiquement le
contexte, ce qui correspondrait à un mécanisme d'abduction vrai. Cette propriété est cependant
atteinte dans un cas particulier utile : celui où le contexte C est équivalent à l'ensemble de ses
théorèmes caractéristiques :
Propriété : si Imax= ⏐A(C)⏐, et A(C) Η C : ∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), ψ ∧ n ⏐- C
Preuve : Th(ψ ∧ n) contient A(ψ ∧ n) qui contient A(C).
Sous les conditions ci dessus, R(ψ,C,⏐A(C)⏐) contient l'ensemble des exemples décrits par ψ qui
impliquent C pour la relation classique d'inférabilité. Lorsqu'elle est définie, la relation d'inférabilité
⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐ repose donc sur un mécanisme d'abduction. Noter que la situation A(C) ⏐− C est
fréquente en pratique. Lorsque AL est l'ensemble des formules réduites à un unique littéral, un
contexte présenté sous la forme C = p1 ∧ p 2 … ∧ p n possède cette propriété.
Plus le rang i grandit, pour ψ et C donnés, plus le nombre de théorèmes est susceptible d'augmenter.
(Cette condition est vérifiée même pour i > Imax(ψ,C) s'il existe : S(ψ,C,i) = false, et toute
formule est un théorème).
Dans certains cas, Thψ,C,0(ψ) = Th(ψ ∧ C) est vide. Alors, si Thψ,C,⏐A(C)⏐(ψ) ≠ ∨, il existe une
plus petite valeur de i ∈[0,⏐A(C)⏐] pour laquelle Thψ,C,i(ψ) ≠ ∨. Nous appelons cette valeur de i :
Imin(ψ,C).
Les nombres Imin et Imax sont caractéristiques. Imin est le rang de la plus "forte" relation
d'inférabilité pour laquelle il est possible de déduire quelque chose de ψ dans le contexte C, Imax
est le rang de la relation d'inférabilité qui permet de déduire le plus grand nombre de théorèmes
"significatifs". Pour récapituler, on dispose de
⏐~ψ,C,0
⏐~ψ,C,Imin
⏐~ψ,C,Imax
inférence classique
donne les premiers théorèmes (les plus forts)
donne tous les théorèmes

⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐
inférence "abductive" (non toujours atteinte)
3.2. Utilisation des ⏐~ψ,C,i pour le diagnostic
Le système logique que nous avons décrit peut être utilisé dans une optique de diagnostic. Dans ce
cas, l'objectif est de compléter progressivement le contexte jusqu'à ce qu'une classe de référence
devienne de cardinal un. Le contexte permet alors d'identifier un exemple de manière non ambiguë,
pour un rang donné.
Définition : Un contexte C ∈ SL est dit non ambigu pour ψ ∈ BL ssi
∃ i∈[0,⏐A(C)⏐] tel que ⏐R(ψ,C,i)⏐ = 1
Plus il existe i proche de 0 tel que ⏐R(ψ,C,i)⏐ = 1, plus le caractère non ambigu de C est fort. Le cas
extrême ou ⏐R(ψ,C,0)⏐ = 1 peut se produire : dans ce cas, tous les exemples sont incompatibles avec
C sauf un. Cet exemple est alors sélectionné par élimination, par déduction vraie.
3.3. Raisonnement inductif
Une autre utilisation possible est de raisonner à partir d'une base d'exemples pour déduire d'un
exemple nouveau des propriétés non observées. L'approche présentée ici permet de fonctionner
correctement dans un cadre déterministe, où l'on espère que les propriétés logiques des exemples
sont liées par des lois (même inconnues) et où les mêmes causes produisent les mêmes effets. Il ne
s'agit pas d'une vision probabiliste comme celle développée dans [Craddock 93].
4. Etude détaillée de l'exemple
Revenons sur la base d'exemples ψ 3 présentée plus haut. L'expression des exemples sous forme
d'une disjonction de modèles partiels (aigle ∧ noir) est plus modulaire que sous forme d'une
conjonction de "règles" (autruche ⇒ gris), car elle résiste bien à l'ajout de cas nouveaux. Pour
permettre la formulation des exceptions dans l’arbre d’héritage, nous devons conserver l’exclusion
mutuelle sur les espèces. C’est possible, et légitime, car ce type de classification arbitraire est décrite
par l’homme. L’exclusion sur les couleurs, où toute autre de ce type - i.e. naturelle - , est quand à elle
impossible à maintenir dans la pratique (voir pour cela les exemples listés dans [Henocque 95]).
0: "exclusion mutuelle entre 1, 2, 3, 4…, n… pour tout n ∈ N"
1: "exclusion mutuelle entre espèces : aigle, autruche" ∧
2’: true ∧ // n'est plus nécessaire
3: (aigle ⇒ oiseau) ∧
4: (autruche ⇒ oiseau) ∧
5: (¬oiseau ∨ vole ∨ autruche) ∧
6: (autruche ⇒ ¬vole) ∧ (
7': 1 ∧ aigle ∧ noir ∨
8': 2 ∧ aigle ∧ doré ∧ marahuté ∨
9': 3 ∧ autruche ∧ gris )

Nous avons essentiellement numéroté les exemples, et supprimé une exclusion mutuelle (la sous
formule 2), perdant de la sorte une partie des théorèmes initiaux de ψ 1 . Cela permet d'illustrer
comment notre modèle permet de s’en passer. ψ est une base d'exemples valide par la sous formule
0. Quel que soit le contexte C, et le rang i, les sous formules 3, 4, 5, 6 figurent dans Thψ,C,i.
4.1. exemple : C = aigle
Soit C = aigle. A(C) = {aigle}, ⏐A(C)⏐=1, R(ψ,C,0) ={1,2}. R(ψ,C,1) ={1,2}.
⏐~aigle,0
⏐~aigle,1
oiseau, vole (ne dépend pas du contexte)
oiseau, vole (ne dépend pas du contexte)
Remarquons que l'exclusion mutuelle entre les espèces est ici nécessaire pour déduire qu'un aigle
vole (a partir de la sous formule 5) pour le rang 0. Elle élimine l'exemple 3 dans le contexte ou "aigle"
est vrai, raison pour laquelle "3" ne figure pas dans R(ψ,C,0).
Egalement, du fait qu'au rang 1 égal à ⏐A(C)⏐ correspond une classe de référence non vide, les
exemples figurant dans cette dernière sont dans une relation d'abduction pure avec le contexte, et
donc impliquent logiquement le contexte.
4.2. exemple : C = marahuté
Soient maintenant C = marahuté, A(C) = {marahuté}, ⏐A(C)⏐=1, et R(ψ,C,0) = {1,2,3}, R(ψ,C,1) ={2}.
⏐~marahute,0 oiseau
⏐~marahute,1 vole ∧ aigle ∧ doré
(indépendant du contexte)
Notons que dans ce deuxième exemple, les théorèmes qui nous intéressent, i.e. ceux basés sur
l'information retrouvée, sont obtenus pour le rang 1.
4.3. exemple : C = noir
Nous pouvons aller un peu plus loin, et montrer comment nos relations d'inférabilité non monotones
permettent d'accroître la puissance expressive de la logique. La perte de l'exclusion sur les couleurs
n'est pas dommageable :
C = noir , ⏐A(C)⏐=1, R(ψ 2 ,C,1) ={1,2}
⏐~noir,0 oiseau (indépendant du contexte)
⏐~noir,1 aigle, vole
4.4. exemple : C = gris ∧ bob
Supposons maintenant que le contexte ne corresponde pas à un exemple connu :
C = gris ∧ bob, ⏐A(C)⏐=2, R(ψ 2 ,C,1) ={3}, R(ψ 2 ,C,2) ={}

⏐~C,0 oiseau
⏐~C,1 autruche, ¬vole
⏐~C,2
"non définie"
Dans ce cas, le système, qui ne connaît qu'une sorte d'oiseau gris, permet de déduire que tout oiseau
gris est une autruche. C’est légitime en présence d'aussi peu d'informations.
4.5. conclusion
Ces exemples montrent comment on dispose de théorèmes forts (obtenus pour des indices faibles) et
de théorèmes plus faibles correspondant à une information retrouvée plus que déduite.
5. Comparaison avec d'autres approches
Notre proposition n’évoque pas de notion qui aurait été inconnue. Nous levons le voile sur un
problème qui est à notre avis ignoré. La difficulté qu’il y a à concevoir des bases de connaissances en
logique est liée notamment au problème posé par les exclusions mutuelles, bien avant que doive être
posé celui de l’héritage et des exceptions. Nous par ailleurs avons utilisé comme relation d’inférabilité
celle du calcul propositionnel classique, suffisante pour décrire les exceptions dans notre
cadre. Toute relation non monotone dotée de propriétés raisonnables (cf. [Kraus et al. 90] et
[Lehmann et al. 92]) pourraît cependant être utilisée à la place. Notre étude est donc en amont de
ces considérations, ce qui ne permet pas de comparaison très utile avec les recherches qui abordent
ces problèmes.
5.1. Systèmes terminologiques
Les bases d’exemples que nous décrivons ressemblent aux les systèmes terminologiques
([Baader et al. 90],[Olbach et al. 93], [Buchheit et al. 93]). Nous disposons d’algorithmes complets et
décidables, ce qui dote notre système de toutes les fonctionnalités d’inférence et de vérification de
cohérence souhaités, qui sont atteints d’une manière moins immédiate ([Baader et al. 90]) dans les
logiques de description.
5.2. Raisonnement abductif
Le raisonnement abductif consiste à inférer A à partir de B et A ⏐= B. En général A est inconnu et le
problème posé est de générer (produire) toutes les explications possibles qui soient pertinentes d’une
propriété observée. Ce problème n’est pas différent du problème de la déduction : ci dessus, ¬A est
une conséquence (déduite) de ¬B et ¬B ⏐= ¬A. La distinction vient de ce que d’une part on n’envisage
pas la production de tout ou partie des conséquences d’une théorie et d’un contexte, quoi que
cela présente un certain intérêt ([Boï et al. 92]), alors que le raisonnement abductif l’impose. Une
difficulté posée par la production (i.e. la génération des explications pertinentes dans le cas de
l’abduction) est la sélection des formules qu’il est légitime de produire parmi un ensemble arbitrairement
grand ([Levesque 89]). Notre approche peut être vue dans notre cadre précis comme permettant
une gamme de raisonnements à caractère abductif dont les causes produites à partir de la
situation observée appartiennent au seul ensemble N.

5.3. Raisonnement fondé sur les cas
Le raisonnement fondé sur les cas est une approche du raisonnement qui procède par analogie. Un
système qui l’implante (CBR : cf. [Kass et al. 88], [Golding et al. 91]) adapte un raisonnement connu
réputé “assez proche” à une situation nouvelle. Le mécanisme de base est donc du type “pattern
matching”, et cet aspect est présent dans notre proposition. Toutefois la ressemblance s’arrête là car
les CBR ne mettent en oeuvre aucune capacité à produire un raisonnement.
5.4. Modèles préférentiels
Les approches de la non monotonie qui utilisent des modèles préférentiels sélectionnent des
interprétations dont la distance est réputée minimale avec une autre interprétation de référence
([Besnard et al. 88]). Notre distance quand à elle est calculée par rapport à l'ensemble des
théorèmes caractéristiques (atomiques ici) d'un contexte, ce qui constitue un changement de point de
vue conséquent. Nous avons aussi renoncé à l’utilisation possible de la circonscription ([McCarthy
80,86]) qui dans notre cas suppose l’introduction de propositions auxiliaires.
5.5. Approches probabilistes
[Craddock 93] aborde le même problème que nous du point de vue du calcul des prédicats selon une
approche probabiliste. Il utilise également une numérotation des individus qui est artificielle au
problème de départ, ce qui donne une grande ressemblance aux deux approches. Cette similitude
justifie d’ailleurs le choix du terme “classe de référence” qui est repris de [Kyburg 83]. L’inférence
non monotone décrite par [Craddock 93] repose sur des probabilités conditionnelles, alors que la
notre repose sur la relation classique d’inférabilité.
5.6. Logiques modales
Ces logiques ([McDermott 82]) ne sont pas célèbres pour leur simplicité d’utilisation. Notre approche
est essentiellement sémantique, et assortie de procédures de preuve.
5.7. Logique de défauts
D’une manière générale les logiques de défauts ([Reiter 80]) visent à décrire par une extension
appropriée au langage logique sous jacent des inférences possibles assorties d’exceptions isolées.
L’objectif est implicitement d’atteindre un langage sémantiquement adéquat et modulaire, i.e. où
les règles par défaut soient isolées des déclarations d’exceptions. Pourtant, les bases de connaissances
exprimées au moyen de ce type de logiques s’avèrent difficiles à maintenir, ce qui les prive
d’une partie de leur intérêt ([Al-Asady et al. 93]). Nous visons également cette modularité mais pour
des aspects qui peut être considérés comme primitifs par rapport au problème de l’héritage avec
exceptions. Une recherche en cours concerne la description de défauts avec exceptions qui soient
sémantiquement modulaires, en utilisant une approche dérivée de celle présentée ici. Ces travaux
pourront rapprocher notre proposition de ceux en cours dans le domaine des systèmes terminologiques,
qui tendent à incorporer des défauts ([Straccia 93], [Pagdam 93]).

6. Conclusion et Perspectives de recherche
Notre travail éclaire d’une façon particulière les rapports entre connaissances factuelles et connaissances
générales, dans un contexte d’héritage avec exceptions. Notre proposition a été partiellement
implantée, et montre la possibilité d’atteindre des performances d’exploitation et une puissance
expressive tout à fait honorables. Le travail en cours vise l’implantation exacte du modèle présenté.
Nous avons par ailleurs mis en avant le concept de modularité sémantique. Cet aspect atteint dans
notre cadre certes restreint de bases d’exemples permet d’envisager une approche assistée de
l’apprentissage. Par ailleurs, les mêmes principes peuvent être mis en oeuvre pour décrire défauts et
exceptions sans plus une seule exclusion mutuelle : un problème est alors représenté à l’aide de
plusieurs bases d’exemples qui coopèrent. Egalement possible est la représentation des relations
pour atteindre la puissance expressive du calcul des prédicats . Nous étudions les propriétés (au
sens de [Kraus et al. 90], [Lehmann et al. 92]) de diverses relations d’inférabilité non monotones qui
peuvent être définies sur la base de notre proposition.
7. Remerciements
Ce travail n’aurait pas été possible sans Armand Bendanan, à l’origine de nombreuses idées (cf.
[Bendanan et al. 93A et 93B], et avec qui un outil informatique (Guemara) implantant ces concepts
a été réalisé. Pierre Siegel a permis mon retour à la recherche et m’a aidé avec patience à définir le
cadre formel de cette approche. Karl Schlechta, Arnaud Kohler, Camilla Schwind m’on fait profiter
de précieux commentaires sur ce texte.
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