Une utilisation non monotone du calcul propositionnel clas - Laurent ...

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permet aussi d'atteindre la modularité sur les défauts, mais nous ne voulons pas compliquer inutilement le présent exposé. Voici maintenant quelle est la structure d'une base d'exemples selon notre modèle. Nous étendons le langage L pour former L' par l'addition d'un ensemble remarquable de symboles propositionnels: N= {1,2,3,4,5…} soumis à une exclusion mutuelle implicite. Les noms de symboles 1,2,…n représentent les numéros des exemples et n'ont aucune connotation arithmétique autre que celle de décrire un nombre illimité de symboles remarquables. La base d'exemples ψ 2 se récrit en ψ 3 ou la ligne 2 est supprimée, et les lignes 7,8,9 sont changées comme suit : 1: "exclusion mutuelle entre espèces : aigle, autruche…"∧ 2': vrai ∧ 3: (aigle ⇒ oiseau) ∧ 4: (autruche ⇒ oiseau) ∧ 5: (¬oiseau ∨ vole ∨ autruche) ∧ 6: (autruche ⇒ ¬vole) ∧ ( 7': 1 ∧ aigle ∧ noir ∨ 8': 2 ∧ aigle ∧ doré ∧ marahuté ∨ 9': 3 ∧ autruche ∧ gris ) La signification intuitive de 8' est : le deuxième cas d'animal connu est un aigle doré dont le nom est "marahuté". L'exclusion mutuelle implicite entre n1,n2 et n3 représente en puissance toutes les exclusions mutuelles pertinentes, et permet des raisonnements utiles via une relation d'inférabilité adéquate. Nous aurons à la fois la possibilité d'étendre de façon modulaire la connaissance décrite par une telle base d'exemples, et celle de déduire (par association d'idées) que "marahuté est un aigle" comme celle de déduire (de façon classique) que "les aigles volent". 2. Langage et sémantique Définition : Soit L un langage du calcul propositionnel défini à l'aide des connecteurs usuels ∧, ∨, ¬ ("et", "ou", "non"), et d'un ensemble V de propositions contenant un ensemble fini N = {1, 2, ..., n} dont les éléments représentent les numéros d'exemples. SL est l'ensemble des formules satisfiables de L. AL est l'ensemble des littéraux de L. BL est l'ensemble des bases d'exemples de L, définies ci après. 2.1. Bases d'exemples Définition : ∀ ψ ∈ SL (satisfiable), ψ est une base d'exemples ssi ψ implique logiquement l'exclusion mutuelle des propositions de N = {1,2, ..., n} : ψ ⏐− (1 ∨ 2 ∨…∨ n) ∧ (∧ 1
de démonstrateurs automatiques), mais facilite l'obtention de certaines propriétés, ainsi que la compréhension générale du problème. Elle permet par ailleurs de formuler les bases d'exemples comme ci avant plutôt que sous forme d'une conjonction de règles (du type "1 ⇒ (aigle ∧ noir ∧ vole ∧ oiseau)"). Nous verrons par la suite comment elle autorise la suppression d'exclusions mutuelles normalement nécessaires pour une représentation d'informations utilisable, i.e. fournissant des théorèmes utiles et pertinents. Etant donnée ψ une base d'exemples, nous notons N(ψ) l'ensemble (non vide par définition) des numéros des exemples "décrits" par ψ : Définition : ∀ ψ ∈ BL, N(ψ) = {n ∈ N ⏐ ψ ∧ n ∈ SL (est satisfiable)}. Dans notre exemple, N(ψ) = {1, 2, 3}. 2.2. Théorèmes caractéristiques Pour toute formule F de L, nous considérons l'ensemble A(F) de ses théorèmes caractéristiques. Définition : ∀ F ∈ L, A(F) l'ensemble des théorèmes caractéristiques de F est : A(F) = AL ↔ Th(F) Par définition de AL, ces théorèmes sont les théorèmes atomiques, ou monolittéraux. Ce choix n'est pas le seul possible - nous aurions pu choisir comme formules caractéristiques toutes les formules à un ou deux atomes par exemple - mais est justifié par sa pertinence en pratique (l'être humain détermine assez facilement des théorèmes atomiques, mais rencontre des difficultés au delà). 2.3. Contextes Une base d'exemples décrit un ensemble de situations connues, clairement distinguées puisqu'on peut les numéroter. Nous voulons définir un mode de raisonnement par lequel une situation observée, appelée contexte, caractérise de façon non monotone des ensembles d'exemples pertinents, sur lesquels on raisonne ensuite de façon classique. Définition : Un contexte C est une formule satisfiable de L. Exemple : supposons que vous connaissiez divers véhicules par leurs marques, couleurs, modèles etc.…. Si l'on vous dit "rouge" (c'est le contexte), vous restreignez le champ de votre connaissance à l'ensemble des véhicules rouges (ce processus n'est pas purement déductif), pour ensuite déduire (ici véritablement) "camion" si les seuls véhicules rouges connus par vous en sont. 2.4. Classes de référence Etant donnés un contexte C, et ψ une base d'exemples, nous caractérisons les ensembles d'exemples décrits par ψ qui sont pertinents pour C. Ces ensembles sont appelés les classes de référence de ψ pour C. Une classe de référence est par définition un ensemble d'exemples compatibles
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Page 11 and 12: ⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐ inférence "abd
Page 13 and 14: ⏐~C,0 oiseau ⏐~C,1 autruche, ¬
Page 15 and 16: 6. Conclusion et Perspectives de re
Page 17: [Mellish et al. 93] Chris Mellish,

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