Une utilisation non monotone du calcul propositionnel clas - Laurent ...

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Preuve : Par l'exclusion mutuelle portant sur les éléments de N dans ψ, il ne peut exister un modèle de ψ ∧ C qui ne soit un modèle de S(ψ,C,0), sauf à contredire la définition de R(ψ,C,0) = {n ∈ N ⏐ ψ ∧ C ∧ n ∈ SL}. Donc ψ ∧ C ⏐= S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- ψ ∧ C ∧ S(ψ,C, 0) ⏐- F. 3.1. Lien entre ⏐~ψ,C,i et l'abduction Un cas limite remarquable est celui ou Imax(ψ,C) = ⏐A(C)⏐. Les conséquences caractéristiques des exemples sélectionnés contiennent alors celles du contexte : ∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), A(C) χ A(ψ ∧ n) (Par définition de R(ψ,C,⏐A(C)⏐): {n∈N ⏐ ψ ∧ n ∈ SL et ⏐A(ψ ∧ n) ↔ A(C)⏐=⏐A(C)⏐}). Il n'est pas possible toutefois d'en déduire que les exemples sélectionnés impliquent logiquement le contexte, ce qui correspondrait à un mécanisme d'abduction vrai. Cette propriété est cependant atteinte dans un cas particulier utile : celui où le contexte C est équivalent à l'ensemble de ses théorèmes caractéristiques : Propriété : si Imax= ⏐A(C)⏐, et A(C) Η C : ∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), ψ ∧ n ⏐- C Preuve : Th(ψ ∧ n) contient A(ψ ∧ n) qui contient A(C). Sous les conditions ci dessus, R(ψ,C,⏐A(C)⏐) contient l'ensemble des exemples décrits par ψ qui impliquent C pour la relation classique d'inférabilité. Lorsqu'elle est définie, la relation d'inférabilité ⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐ repose donc sur un mécanisme d'abduction. Noter que la situation A(C) ⏐− C est fréquente en pratique. Lorsque AL est l'ensemble des formules réduites à un unique littéral, un contexte présenté sous la forme C = p1 ∧ p 2 … ∧ p n possède cette propriété. Plus le rang i grandit, pour ψ et C donnés, plus le nombre de théorèmes est susceptible d'augmenter. (Cette condition est vérifiée même pour i > Imax(ψ,C) s'il existe : S(ψ,C,i) = false, et toute formule est un théorème). Dans certains cas, Thψ,C,0(ψ) = Th(ψ ∧ C) est vide. Alors, si Thψ,C,⏐A(C)⏐(ψ) ≠ ∨, il existe une plus petite valeur de i ∈[0,⏐A(C)⏐] pour laquelle Thψ,C,i(ψ) ≠ ∨. Nous appelons cette valeur de i : Imin(ψ,C). Les nombres Imin et Imax sont caractéristiques. Imin est le rang de la plus "forte" relation d'inférabilité pour laquelle il est possible de déduire quelque chose de ψ dans le contexte C, Imax est le rang de la relation d'inférabilité qui permet de déduire le plus grand nombre de théorèmes "significatifs". Pour récapituler, on dispose de ⏐~ψ,C,0 ⏐~ψ,C,Imin ⏐~ψ,C,Imax inférence classique donne les premiers théorèmes (les plus forts) donne tous les théorèmes
⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐ inférence "abductive" (non toujours atteinte) 3.2. Utilisation des ⏐~ψ,C,i pour le diagnostic Le système logique que nous avons décrit peut être utilisé dans une optique de diagnostic. Dans ce cas, l'objectif est de compléter progressivement le contexte jusqu'à ce qu'une classe de référence devienne de cardinal un. Le contexte permet alors d'identifier un exemple de manière non ambiguë, pour un rang donné. Définition : Un contexte C ∈ SL est dit non ambigu pour ψ ∈ BL ssi ∃ i∈[0,⏐A(C)⏐] tel que ⏐R(ψ,C,i)⏐ = 1 Plus il existe i proche de 0 tel que ⏐R(ψ,C,i)⏐ = 1, plus le caractère non ambigu de C est fort. Le cas extrême ou ⏐R(ψ,C,0)⏐ = 1 peut se produire : dans ce cas, tous les exemples sont incompatibles avec C sauf un. Cet exemple est alors sélectionné par élimination, par déduction vraie. 3.3. Raisonnement inductif Une autre utilisation possible est de raisonner à partir d'une base d'exemples pour déduire d'un exemple nouveau des propriétés non observées. L'approche présentée ici permet de fonctionner correctement dans un cadre déterministe, où l'on espère que les propriétés logiques des exemples sont liées par des lois (même inconnues) et où les mêmes causes produisent les mêmes effets. Il ne s'agit pas d'une vision probabiliste comme celle développée dans [Craddock 93]. 4. Etude détaillée de l'exemple Revenons sur la base d'exemples ψ 3 présentée plus haut. L'expression des exemples sous forme d'une disjonction de modèles partiels (aigle ∧ noir) est plus modulaire que sous forme d'une conjonction de "règles" (autruche ⇒ gris), car elle résiste bien à l'ajout de cas nouveaux. Pour permettre la formulation des exceptions dans l’arbre d’héritage, nous devons conserver l’exclusion mutuelle sur les espèces. C’est possible, et légitime, car ce type de classification arbitraire est décrite par l’homme. L’exclusion sur les couleurs, où toute autre de ce type - i.e. naturelle - , est quand à elle impossible à maintenir dans la pratique (voir pour cela les exemples listés dans [Henocque 95]). 0: "exclusion mutuelle entre 1, 2, 3, 4…, n… pour tout n ∈ N" 1: "exclusion mutuelle entre espèces : aigle, autruche" ∧ 2’: true ∧ // n'est plus nécessaire 3: (aigle ⇒ oiseau) ∧ 4: (autruche ⇒ oiseau) ∧ 5: (¬oiseau ∨ vole ∨ autruche) ∧ 6: (autruche ⇒ ¬vole) ∧ ( 7': 1 ∧ aigle ∧ noir ∨ 8': 2 ∧ aigle ∧ doré ∧ marahuté ∨ 9': 3 ∧ autruche ∧ gris )
Page 1 and 2: Une utilisation non monotone du cal
Page 3 and 4: l’héritage avec exceptions. La d
Page 5 and 6: ψ 1 ⏐− noir ⇒(aigle ∧ oise
Page 7 and 8: de démonstrateurs automatiques), m
Page 9: Définition : ∀ ψ ∈ BL, ∀ C
Page 13 and 14: ⏐~C,0 oiseau ⏐~C,1 autruche, ¬
Page 15 and 16: 6. Conclusion et Perspectives de re
Page 17: [Mellish et al. 93] Chris Mellish,

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