Une utilisation non monotone du calcul propositionnel clas - Laurent ...

Preuve : Par l'exclusion mutuelle portant sur les éléments de N dans ψ, il ne peut exister un modèle
de ψ ∧ C qui ne soit un modèle de S(ψ,C,0), sauf à contredire la définition de R(ψ,C,0)
= {n ∈ N ⏐ ψ ∧ C ∧ n ∈ SL}. Donc ψ ∧ C ⏐= S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- S(ψ,C,0), et ψ ∧ C ⏐- ψ ∧ C ∧ S(ψ,C,
0) ⏐- F.
3.1. Lien entre ⏐~ψ,C,i et l'abduction
Un cas limite remarquable est celui ou Imax(ψ,C) = ⏐A(C)⏐. Les conséquences caractéristiques des
exemples sélectionnés contiennent alors celles du contexte :
∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), A(C) χ A(ψ ∧ n)
(Par définition de R(ψ,C,⏐A(C)⏐): {n∈N ⏐ ψ ∧ n ∈ SL et ⏐A(ψ ∧ n) ↔ A(C)⏐=⏐A(C)⏐}).
Il n'est pas possible toutefois d'en déduire que les exemples sélectionnés impliquent logiquement le
contexte, ce qui correspondrait à un mécanisme d'abduction vrai. Cette propriété est cependant
atteinte dans un cas particulier utile : celui où le contexte C est équivalent à l'ensemble de ses
théorèmes caractéristiques :
Propriété : si Imax= ⏐A(C)⏐, et A(C) Η C : ∀ n ∈ R(ψ,C,⏐A(C)⏐), ψ ∧ n ⏐- C
Preuve : Th(ψ ∧ n) contient A(ψ ∧ n) qui contient A(C).
Sous les conditions ci dessus, R(ψ,C,⏐A(C)⏐) contient l'ensemble des exemples décrits par ψ qui
impliquent C pour la relation classique d'inférabilité. Lorsqu'elle est définie, la relation d'inférabilité
⏐~ψ,C,⏐A(C)⏐ repose donc sur un mécanisme d'abduction. Noter que la situation A(C) ⏐− C est
fréquente en pratique. Lorsque AL est l'ensemble des formules réduites à un unique littéral, un
contexte présenté sous la forme C = p1 ∧ p 2 … ∧ p n possède cette propriété.
Plus le rang i grandit, pour ψ et C donnés, plus le nombre de théorèmes est susceptible d'augmenter.
(Cette condition est vérifiée même pour i > Imax(ψ,C) s'il existe : S(ψ,C,i) = false, et toute
formule est un théorème).
Dans certains cas, Thψ,C,0(ψ) = Th(ψ ∧ C) est vide. Alors, si Thψ,C,⏐A(C)⏐(ψ) ≠ ∨, il existe une
plus petite valeur de i ∈[0,⏐A(C)⏐] pour laquelle Thψ,C,i(ψ) ≠ ∨. Nous appelons cette valeur de i :
Imin(ψ,C).
Les nombres Imin et Imax sont caractéristiques. Imin est le rang de la plus "forte" relation
d'inférabilité pour laquelle il est possible de déduire quelque chose de ψ dans le contexte C, Imax
est le rang de la relation d'inférabilité qui permet de déduire le plus grand nombre de théorèmes
"significatifs". Pour récapituler, on dispose de
⏐~ψ,C,0
⏐~ψ,C,Imin
⏐~ψ,C,Imax
inférence classique
donne les premiers théorèmes (les plus forts)
donne tous les théorèmes