la correction du devoir 5 - IUFM de Toulouse

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Correction du devoir N°5
Sommaire
1 RECHERCHE D’UN MODÈLE MATHÉMATIQUE DE LA FONCTION FP7 EN MODE
ASSERVISSEMENT DE VITESSE.......................................................................................................... 4
1.1 EBAUCHE DU SCHÉMA BLOC. ......................................................................................................... 4
1.2 MODÉLISATION DES BLOCS DE L’ASSERVISSEMENT « À TEMPS CONTINU ». ..................................... 4
1.2.1 Recherche Des éléments du modèle électromécanique . .................................................... 4
1.2.2 Modélisation de la fonction F.S.72 « Création de la consigne de courant »......................... 6
1.3 MODÉLISATION DES BLOCS « À TEMPS DISCRET ». ....................................................................... 10
1.3.1 Modélisation de la structure remplissant la fonction « calcul de la viteSSE » .................... 10
1.3.2 Analyse de la relation NVM(NT E ) = K P .[ Profondeur(NT E ) - Profondeur[(N-1)T E ]]............... 11
1.3.3 Complément théorique : Modélisation de l’influence de l’échantillonnage et du blocage. .. 16
1.4 SYNTHÈSE DE LA RECHERCHE D’UN MODÉLE ANALOGIQUE DE LA BOUCLE D’ASSERVISSEMENT DE
VITESSE............................................................................................................................................... 17
2 ETUDE DE L’ASSERVISSEMENT DE VITESSE ÉCHANTILLONNÉ À PARTIR D’UN
ÉQUIVALENT ANALOGIQUE. .............................................................................................................. 19
2.1 ETUDE DE LA RÉPONSE À UN ÉCHELON ........................................................................................ 19
2.2 ETUDE DE LA STABILITÉ DE LA BOUCLE ........................................................................................ 21
3 ETUDE DU FONCTIONNEMENT EN MODE ASSERVISSEMENT DE POSITION. ........................ 23
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Table des illustations
Figure 1. Représentation de la chaîne complète en mode asservissement de vitesse avec I m le courant
dans le moteur et m le couple moteur développé sur l'axe du moteur. _________________________ 4
Figure 2. Exemple d’évolution de la profondeur et de la vitesse. _____________________________ 12
Figure 3. Représentation des échantillons NVM(nTe) (gros points), de NVMfictif(t) (pointillés) et de la
vitesse réelle. ____________________________________________________________________ 14
Figure 4. Interprétation de la fonction de transfert T*(j )___________________________________ 14
Figure 5. Approximation analogique équivalent de l’échantillonnage et du blocage en présence d’un
filtre passe bas après le bloqueur. ____________________________________________________ 17
Figure 6. Modèle analogique équivalent du traitement numérique, de l’échantillonnage et du blocage.
Avec k = Kp=120/0,848 et k.Te= Kv=1mm/s. ____________________________________________ 18
Figure 7. Modèle analogique de l’asservissement de vitesse. Domaine de validité [0, Fe/4] environ. Pas
de frottements secs; _______________________________________________________________ 18
Figure 8. Variante du modèle analogique de l’asservissement de vitesse ______________________ 19
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AVERTISSEMENT
Ce devoir vous permet,
d’étudier la conversion numérique analogique
de rechercher le modèle mathématique de l’asservissement lorsque l’on est en mode
asservissement de vitesse,
d’analyser la stabilité de cet asservissement échantillonné en utilisant l’approximation du
retard pur,
de rechercher le modèle de l’asservissement lorsque l’on est en mode asservissement
de position.
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1.1 EBAUCHE DU SCHEMA BLOC.
Lorsque l’on est en mode asservissement de vitesse, le système peut se mettre sous
la forme des schéma-bloc donnés sur la Figure 1. Les interrupteurs schématisent la
présence de grandeurs qui correspondent à des échantillons et qui ne sont donc pas définis
pour toutes les valeurs de t.
Un élément est dit « à temps continu » lorsque les signaux traités sont définis quelque
soit t . Si le système est linéaire, il peut être étudié à l’aide de la transformée en p.
Par opposition, on parle d’élément « à temps discret »pour les systèmes qui traitent
des échantillons et pour lesquels les signaux ne sont définis qu’aux dates
d’échantillonnage. L’outil mathématique est alors la transformée en z.
NVC
NVM
Bloqueur
Calcul
Numérique
NEV
Vic
POSREL
Codage
I m
H1(p)
m
H3(p)
Profondeur (mm)
H2(p)
Vitesse (mm/s)
Vitesse
(mm/s)
Figure 1. Représentation de la chaîne complète en mode asservissement de vitesse avec I m le
courant dans le moteur et m le couple moteur développé sur l'axe du moteur.
1.2 MODELISATION DES BLOCS DE L’ASSERVISSEMENT « A TEMPS CONTINU ».
La relation entre le courant dans le moteur et la différence de potentiel Vic est fournie
par l’analyse de la fonction FS.7.3 (contrôle du transfert d’énergie dans le moteur), elle a
été établie dans un devoir précédent. On la considérera comme équivalente à un premier
ordre.
On rappelle qu’un courant repéré négatif dans le moteur entraîne le moteur dans le
sens de la descente du moulinet.
Le moment d’inertie J de la chaîne cinématique ramené sur l’arbre du moteur dépend
du moulinet, on le supposera égal à 1,5.10 -5 kg;m². Le couple de frottement visqueux fv est
évalué à 10 -4 N.m/s.
1.2.1 Recherche Des éléments du modèle électromécanique .
Les fonctions de transfert H1, H2, H3 correspondent au modèle électromécanique du
moteur et de la partie mécanique associée. I m représente le courant dans le moteur exprimé
en A et m le couple moteur développé sur l'axe du moteur. Profondeur représente la
position du moulinet par rapport à la surface de l'eau et est exprimé en mm.
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Q1) Préciser les expressions des fonctions de transfert H1(p), H2(p), H3(p) en fonction
de la constante de couple Km, du moment d’inertie J, du coefficient de
frottement visqueux fv et du pas mécanique K6 (en mm/rd).
La vitesse de remontée du moulinet en mm/s vérifie V(p) = 0,848. m(p) avec m la
vitesse de rotation de l’axe du moteur en rd/s.
D’autre part, le couple moteur est proportionnel au courant dans le moteur avec
Km = 20 m N.m/A d’après la documentation du moteur Escap.
Le moteur est branché de manière à ce que pour Vic négatif et donc un courant dans
le moteur Im négatif, la rotation entraîne une descente du moulinet, or c’est le sens
descente qui a été mécaniquement considéré comme positif. Donc on écrira,
m(p) = - K m .I m (p) soit H 1 (p)= - K m
Les relations mécaniques nous donnent,
m(t) = J.d m (t)/dt + fv. m(t)+ frottements secs.
ou encore
m(p) = (J.p +fv)
m(p) + Frot secs (p).
donc m(p)/ [ m(p) - Frot secs (p)] = 1/(J p +fv) si m(p) est la vitesse de rotation de
l’axe du moteur exprimée en rd/s.
Si on considère la vitesse linéaire de translation du moulinet exprimée en mm/s
La vitesse de déplacement linéaire du moulinet en mm/s est reliée à
V(p) = 0,848 m(p)/ (2
m par
Donc, H2(p) = 0,848 / (2
(J p +fv)
Le pas est égal à 0.848 mm/tour ou encore K6 = 0.848/2 mm/rd
La profondeur est la dérivée de la vitesse, donc Profondeur(p) V(p) /p si la
profondeur est exprimée en mm, on obtient H 3 (p) = 1 p
-Frott secs (p)
NEV
Vic
I m
- K m
1
p
m
+
K 6
+
Jp f
v
Vitesse
(mm/s)
Profondeur (mm)
Vitesse(mm/s)
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H 1 = - K m H2(p) =
K6 = 0.848/2 mm/rd
2
0,848
(Jp f
v
)
H 3 p) =
p
1
1.2.2 Modélisation de la fonction F.S.72 « Création de la consigne de courant »
Cette fonction réalise la conversion Numérique analogique, c’est à dire le décodage
de NEV. La grandeur d’entrée est définie comme étant la sortie de bascules D, il s’agit d’un
signal bloqué (bien qu’étant encore codé). Il est parfaitement défini quel que soit t.
Q2) Donner les caractéristiques technologiques principales d’un convertisseur
numérique analogique. Citer les principaux principes de conversion utilisés dans
un convertisseur analogique numérique et indiquer leurs avantages ou
inconvénient technologique.
Caractéristiques technologiques élémentaires
Durée de conversion (ou l’inverse, cadence maximale de conversion) qui caractérise la
rapidité du convertisseur.
Nombre de bits en entrée (résolution)
Caractéristiques complémentaires intervenant dans les critères de choix
Nature de la sortie (convertisseur unipolaire ou bipolaire) valeur de la sortie pleine
échelle.
Mode d’interfaçage en entrée (Mode de codage de l’entrée, entrée série ou parallèle,
présence de bascules intégrées au CNA de manière à bloquer le code numérique à
l’entrée pour l'interfaçage avec un microprocesseur, valeurs des niveaux logiques en
entrée..)
Défauts potentiels d’un convertisseur : ensemble de défauts concernant la précision du
convertisseur (défaut de linéarité, précision , erreur de décalage…)
Consommation, possibilité de mise en veille du convertisseur (shut down), etc..
Principe de conversion utilisés
Le principe de conversion repose sur un réseau de commutateurs associé à un
réseau de résistance, une tension (ou un courant) de référence. Les commutateurs sont
commandés par les signaux logiques correspondant au mot à convertir. Suivant la nature
du réseau de résistances, on parle de CNA à résistances pondérées ou de CNA à réseau
R-2R.
Convertisseur à résistances pondérées : les résistances sont pondérées de manière à
ce que les courants générés par chaque branche soient en progression géométrique. Le
courant fourni par la branche sélectionnée. La réalisation du réseau précis avec une
dynamique de valeur importante ((les résistances sont toutes différentes allant de R à 128
R pour 8 bits) est plus complexe que pour le réseau R-2R.
Convertisseur à réseau R-2R : Plusieurs variantes existent, la plus intéressante étant
le convertisseur à échelle R-2R inversée pour lequel le courant circule toujours dans le
même sens dans le commutateur. En évitant au courant de s’inverser lors de la
commutation, on limite les temps de commutation ce qui permet d'avoir des convertisseurs
plus rapides.
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Dans la majorité des cas la grandeur de sortie du circuit intégré est un courant Is. Elle
se met souvent sous la forme suivante,
Is = K N E ref /R avec
N le mot numérique présent en entrée
R élément résistif du réseau interne au circuit intégré
E ref une tension de référence externe au composant
K un coefficient lié à la résolution du convertisseur.
La précision de la conversion provient à la fois de la qualité du réseau de résistances
interne et de la qualité de la source de tension de référence qui doit être particulièrement
soignée. Cette référence est parfois elle aussi intégrée dans le composant. CNA
Un circuit intégré linéaire externe est ajouté de manière à réaliser une conversion
courant tension.
Q3) Certains convertisseurs sont qualifiés de CNA multiplieur. Justifier cette
appellation.
La grandeur analogique de sortie du convertisseur S (tension ou courant) peut
dépendre à la fois du code présent sur les entrées numériques et d’une autre grandeur
analogique E ref (tension ou courant). La sortie S se met alors sous la forme S = K x E ref N.
La fonction réalisée par le composant est une conversion numérique analogique si
E ref est constant. S = (K x E ref ) N
Par contre, la fonction réalisée par le composant est une multiplication si E ref et N
sont variables.
écrit
Ce composant peut aussi réaliser une amplification programmable. Dans ce cas, on
S = K N E ref avec K égal à K x N amplification réglable.
Q4) Expliciter les termes suivants : convertisseur deux quadrants, quatre quadrants,
convertisseur unipolaire, bipolaire. Quel est dans l'application étudiée (la perche
Pirée) le type nécessaire ?
Si le code présent correspond à un nombre compris positif (compris entre 0 et 2 N ) et
que la tension analogique en sortie du convertisseur est uniquement positive (ou
uniquement négative), on dit que le convertisseur est unipolaire.
Si le code présent correspond à un nombre compris qui évolue entre -2 N-1 et +2 N-1 , (N
étant le nombre de bits du convertisseur) et que la tension analogique en sortie est tantôt
positive tantôt négative, on dit que le convertisseur est bipolaire.
Si on considère que le code d’entrée évolue entre -2 N-1 et +2 N-1 mais que la tension de
sortie ne peut être que positive. On dira que l’on a un convertisseur deux quadrants.
Si on considère que le code d’entrée évolue entre -2 N-1 et +2 N-1 et que la deuxième
entrée (E ref ) peut aussi être positive et négative, on dira que l’on a un convertisseur
(multiplieur) quatre quadrants.
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Dans l'application étudiée, le mot présent à l'entrée représente le courant souhaité
dans le moteur. Il peut être tantôt positif tantôt négatif . le mot est considéré comme signé.
La grandeur de sortie du convertisseur doit pouvoir, elle aussi, être positive ou négative. Il
faut donc utiliser un convertisseur bipolaire.
V ic (t) est la différence de potentiel disponible entre la broche 1 du circuit L 291 et la
masse. On notera I ref le courant qui circule dans l’élément résistif R 600 . On note C la
capacité équivalente à C 604 en série avec C 603 .
Q5) Exprimer la relation entre le courant I dacout et Nev le nombre présent à l’entrée.
Pour NEV = 1, le code à l’entrée du convertisseur est 11 1110, le courant I dacout qui
sort de la broche 12 du circuit L 291, a pour intensité,
I dacout = I ref
16
Le tableau donné dans la documentation constructeur montre que I dacout augmente
régulièrement avec le code de NEV. On peut écrire I dacout est proportionnel à NEV,
I dacout = NEV I ref
16
I ref est le courant qui circule dans la résistance R 600 placée entre la borne 9 et
l’alimentation (+5V). Donc I ref = 0,5 mA et,
I dacout = 3,125 10 -5 NEV
Q6) Exprimer la relation entre Vic(p) et NEV(p) et la mettre sous la forme
T(p) =
Vic ( p )
NEV( p) =K 1 1p
na . Préciser les expressions des coefficients en
1 p
fonction des composants passifs.
2
La présence de l’amplificateur linéaire interne au circuit L 291, nous permet d’écrire,
Vic = - Z I dacout
avec Z l’impédance composée des éléments passifs, R 601, R 602, C 603 et C 604, vue entre
les bornes 12 et 1. Donc,
Z(p) = R 601 +
1
R
R
602
602
Cp
avec C = (C 603 C 604 ) / (C 603 + C 604 ) = 11 µF
ou encore
avec R = R
R
Z(p) = R ( 1 R Cp ) R
1 R Cp
R
R
601 602
601 602
601 602 602
602
1 RCp
= ( R601 R602
)
1 R Cp
602
On obtient alors,
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Vic(p) = - I ref
16 ( R R )
1 RCp
601 602
1 R Cp
602
NEV(p)
Vic (p) = K na
1 RCp
Cp NEV(p)
1 R602
1 = RC = R 601. R 602 C . C
R R C C
601 602
603 604
603 604
= 0,68 s
2 = R 602 C = 7,48 s
K na = - I ref
16 (R 601+R 602 ) = - 23,37 V
Q7) Les condensateurs C603 et C604 sont otés. Que devient l'expression de la
fonction de transfert ?
L’impédance Z devient égale à R601+R602. La relation s’écrit
Vic (p) = K na NEV(p)
avec K na =- I ref
16 (R 601+R 602 )
On peut également remarquer que lorsqu'un condensateur est ôté (remplacé par un
circuit ouvert), son impédance est infinie 1/C est infini ou plus simplement le terme Cp est
à remplacer par 0. Donc
1 RCp
1
602
R Cp
devient égal à 1.
Vic p
Q8) On souhaite obtenir que la fonction de transfert T(p) =
( ) soit celle d’un
NEV( p)
correcteur proportionnel intégral, que devient le schéma structurel? Préciser
l’expression de la fonction de transfert en fonction des composants passifs
utilisés.
La fonction de transfert d’un correcteur proportionnel intégral est de la forme K+
1
ou encore K+
N
p
. Cette fonction de transfert sera obtenue si R602 est nulle.
p
i
1
i p
Le schéma structurel s'obtient donc en conservant les condensateurs et R601 et en
remplaçant R602 par un court-circuit.
1
Alors Z(p) est égale à R 601 + . Cp
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Vic (p) = K na
Vic (p) = - I ref
1 R
601Cp
16 Cp
1 R
601Cp
NEV(p)
R Cp
601
NEV(p)
avec K na = - I ref
16 R 601
1.3 MODELISATION DES BLOCS « A TEMPS DISCRET ».
Les interrupteurs schématisent la présence de grandeurs qui sont sous forme
d’échantillons. Ils ne correspondent pas toujours à la présence d’un interrupteur
échantillonneur matériel à base d’un commutateur analogique. En fait, ils sont placés
devant chaque bloc pour lequel le comportement interne est indépendant de ce qui se
passe à l’entrée entre deux dates nTe. C’est la raison pour laquelle ce symbole a été placé
devant l’entrée du bloqueur pour bien insister sur le fait que l’entrée d’un bloqueur est un
signal échantillonné.
On cherche dans la suite de ce problème à définir des comportements analogiques
similaires au comportement échantillonné.
1.3.1 Modélisation de la structure remplissant la fonction « calcul de la viteSSE »
Rappels sur le fonctionnement de l’objet étudié
Le codeur optique délivre 120 impulsions par tour. Un tour correspond à un Pas
de 0,848 mm. On a (120/0,848) soit 141,51 impulsions par mm.
NVM(nTe) est proportionnel au déplacement pendant la durée Te. Donc, en notant
Positionrel(t) la position en mm du moulinet par rapport à la position lors d’un passage par
zéro du compteur, on peut écrire,
NVM(nTe) = Kp.[Positionrel(nTe) - Positionrel[(n-1)Te]] avec Kp =141,51mm -1
Ou encore, en notant Profondeur(t) la position du moulinet par rapport à la surface de
l’eau,
NVM(nTe) = Kp.[ Profondeur (nTe) - Profondeur [(n-1)Te]]
Dans le document support, NVM(nTe) a été mis sous la forme,
NVM(nTe) = Posrel(nTe) - Posrel[(n-1)Te],
On peut aussi écrire
Posrel(t) = K p .Positionrel(t) ou K p .Profondeur(t) + Ko
Avec Ko une constante indéfinie qui dépend de l'origine des temps.
Profondeur(t) la position du moulinet par rapport à la surface de l’eau.
Rappel : Posrel(t) correspond à différence des sorties des compteurs CMPT2-CMPT1
puisque l’un mesure la montée, l’autre la descente.
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Analyse de la relation NVM(NT E ) = K P .[ Profondeur(NT E ) - Profondeur[(N-1)T E ]]
1.3.2.1 Recherche des chronogrammes.
Q9) Si Profondeur(t) évolue suivant un échelon de valeur P0 apparaissant à t égal à
zéro, tracer l’évolution de NVM(nTe).
t (ms) -
7,07
n=t/Te -
1
Profondeur
(mm)
Profondeur retardé de Te
Profondeur(n-1)Te
0 Te
=7,07
4,14
1
1,28
2
8,3
2
35,35
0 1 2 3 4 5
0 0 Po P
o
0 0 0 P
o
NVM 0 0 Kp
Po
Kp P0
o
o
P
P
o
o
P
P
Po
Po
0 0 0 0
P0
Profondeur(nTe)
NVM(nTe)
t (ms)
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Q10) Profondeur(t) évolue suivant une rampe de pente +5mm/s pour t compris entre 0
et 0,05s puis, Profondeur(t) évolue suivant une rampe de pente -5mm/s. La
période d’échantillonnage est de 7.07 ms. Tracer le chronogramme de
Profondeur(t), Profondeur(n(Te) et Profondeur[(n-1)Te]], pour t compris entre 0
et 0,1 s. Tracer en concordance de temps, l’évolution de NVM(nTe).
t (ms) 0 7.07 14.14 21.28 …. 49.4 56.56 63.6 … 84.84 91.91 98.98 106.05
Profondeur(n) 0 3.52 7.07 10.56 …. 24.7 21.7 18.2 .. 7.6 4.07 0.54 -3.025
Profondeur(n-1) 0 0 3.52 7.05 …. 21.2 24.7 21.7 … 11.13 7.6 4.07 0.54
NVM 0 5 5 5 …. 5 -5 -5 … -5 -5 -5
Profondeur[nTe]
Profondeur[(n-1)Te]
5
NVM(nTe)
t (ms)
0 50 100 150
Profondeur((n-1)Te) est retardé de Te par rapport à Profondeur(nTe).
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NVM (nTe) correspond à la dérivée de Profondeur. Il présente un palier positif pour
lequel NVM(nTe) vaut 5 Kp /Te soit +5, et un palier négatif.
Q11) Quelles sont les modifications à apporter au chronogramme précédent si la
fréquence d’échantillonnage est de 100 Hz.
Les formes des chronogrammes obtenues sont similaires. Les échantillons sont un
peu plus espacés. Les valeurs des paliers de NVM sont différentes de celle obtenues dans
le cas précédent car Kp /Te n’est plus égal à 1.
Profondeur[nTe]
Profondeur[(n-1)Te]
5 Kp/Te
NVM(nTe)
t (ms)
0 50 100 150
-5 Kp /Te
Q12) Les traitements numériques linéaires sont basés sur des additions, des
multiplications par un coefficient et des retards de Te. La transformée en z utilise
la correspondance e pTe z. Donner l’expression de la fonction de transfert en
z correspondant à l’équation aux différences,
NVM(nTe) = Kp [ Profondeur (nTe) - Profondeur [(n-1)Te]]
Profondeur ((n-1)Te) est une grandeur retardée de Te par rapport à Profondeur(nTe). Cela
correspond pour la transformée de Laplace à une multiplication par e -pTe
Si on note P(z) la transformée en z de Profondeur(nTe) et Pr(z) la transformée en z de
Profondeur((n-1)Te), on obtient,
Pr(z) = z -1 P(z)
NVM(z) = Kp [1- z -1 ] P(z)
NVM (z)
La fonction de transfert s’écrit alors T(z) = = Kp [1- z -1 ]
P(z)
1.3.2.2 Compléments théoriques
1.3.2.2.1 Analyse d’un chronogramme quelconque.
Vitesse(mm/s)
Profondeur(mm)
0 20 40 60 80 100 120
t (ms)
Figure 2. Exemple d’évolution de la profondeur et de la vitesse.
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Les tracés ci dessus donnent un exemple d’évolution de la profondeur et de la vitesse
de déplacement du moulinet.
Les valeurs de la profondeur et de la vitesse ainsi que les grandeurs captée CMPT1
et CMPT2 ont été reproduites dans le tableau suivant.
t (ms) 0 7
,07
n=t/T
e
4,14
1
1,28
2
8,3
2
5,35
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
2,4
4
9,5
4
6,6
5
3,63
6
0,7
7
7,8
1
7
1
4,84
2
8
1
1,91
3
9
1
8,98
4
9
1
Profo
ndeur
(mm)
V(t)m
m/s
Vites
se
0 0
.042
.113
0
4 8 1
2
.22
8
0
1
.36
2
0
2
.54
8
0
2
.73
8
0
2
.93
8
0
2
.13
8
1
2
.3
2
1
2
.44
6
1
1
.53
1 1 1 1
.58 .64 .7
8 8 8 8
CMP
T1
CMP
T2
500
000
1
2
494
000
1
2
484
000
NVM 4 6 1
0
NPM 0 6 1
6
NPM/
Kp
0 0
.04
.11
1
2
0
469
000
5
1
.22
1
2
1
3
0
449
000
0
1
.36
1
2
2
5
0
424
000
5
6
.54
1
2
2
7
0
396
000
8
04
.73
1
2
2
1
0
368
000
8
32
.93
1
2
2
1
0
340
000
8
60
.13
1
2
2
1
1
315
000
5
85
.3
1
2
2
1
1
296
000
9
04
.44
1
2
1
2
1
284
000
2
16
.5
1
2
1
2
1
276
000
24
.5
1 1 1
268 260
2 2 2
000 000
8 8 8
2 2 2
32 40
1 1 1
.6 .7
Le tracé ci dessous Figure 3 donne l’évolution
V(t) (vitesse réelle),
des échantillons NVM(nTe) (gros points) avec Fe=141,51 Hz soit Kp.Te =1
Sur ce graphe, le chronogramme d’un signal analogique fictif noté NVM fictif (t) a été
tracé en lissant les points correspondant aux échantillons NVM(nTe).
NVM fictif (t) est donc grandeur fictive restituée de manière idéale et non pas par
blocage à partir des échantillons. NVMfictif(t) permet d’analyser l’influence du calcul
numérique (indépendamment de l’échantillonnage et du blocage).
Si on compare NVMfictif(t) avec V(t) (vitesse réelle), on constate que les deux courbes
sont relativement proches.
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Référence K 5446 CO5 Page 15
NVM et Vitesse (mm/s)
Vitesse 30 réelle
Echantillons NVM(nTe)
20
10
NVM fictif
0
0 20 40 60 80 100 120
t (ms)
Figure 3. Représentation des échantillons NVM(nTe) (gros points),
de NVMfictif(t) (pointillés) et de la vitesse réelle.
Si l’évolution de la vitesse est lente par rapport à Te, alors NVMf fictif apparaît comme
légèrement retardé par rapport à V(t). On pourrait alors écrire NVM fictif (t) = V(t- )
Puisque la vitesse est la dérivée de la position, on pourrait aussi écrire l’approximation
suivante,
NVM fictif (t) = K p .Te.V(t- ) ou NVM fictif (t) = K p .Te. d Pr ofondeur
dt
( t )
est défini comme étant le retard introduit par la dérivation numérique réalisée par
l’opération, NVM(nTe) = K p .[Profondeur(nTe) - Profondeur[(n-1)Te]]. Nous allons dans le
paragraphe suivant valider ces remarques.
1.3.2.2.2 Interprétation de la fonction de transfert harmonique d’un filtre numérique.
Soit NVMf fictif (t) le signal analogique reconstitué à partir des échantillons de sortie, la
fonction de transfert permet d’obtenir la relation entre l’amplitude de NVMf fictif (t) et celle de
l’entrée Profondeur(t). Ceci peut être symbolisé par la représentation ci dessous.
Profondeur (t)
Profondeur (nTe)
Profondeur*(j )
T*(j )
NVM(nTe)
NVM*(j )
Restitution
parfaite
NVM fictif (t)
Profondeur (t)
Profondeur(j
T*( j )
NVM fictif (t)
NVM fictif (j )
Figure 4. Interprétation de la fonction de transfert T*(j )
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Page 16 Référence K 5446 C05
Q13) Sachant que pour avoir la fonction de transfert harmonique, il suffit de remplacer
z par e j Te , donner la fonction de transfert harmonique reliant NVM* et
-j Te/2
Profondeur* et la mettre sous la forme : T*(j ) = 2 j K p . sin( Te/2) .e
Comme T(z) est égal à K p [1- z -1 ], on obtient T*(j ) =
NVM * (j )
Pr ofondeur * (j
= K p (1-e - j Te )
)
j Te
j Te
j Te
j Te
2
2
2 2
En mettant e en facteur, on obtient T*(j ) = K p e ( e - e )
Et en utilisant la relation d’Euler,
j Te
2
T*(j ) = 2 j K p e
Remarque :
sin
T
2
e
On note systématiquement avec une astérisque la fonction de transfert harmonique
qui concernent des échantillons pour éviter toute confusions avec la grandeur définie
quelque soit t .
Q14) Après avoir analysé la courbe de module et la courbe d’argument en fonction de
f, pour f inférieur compris entre 0 à Fe/2, déterminer la gamme de fréquence pour
laquelle la fonction de transfert T*(j ) pourra être considérée comme équivalente
à un dérivateur associé à un retard de Te/2 avec une erreur inférieure à 10%.
T
Le module de T*(j ) est égal à 2 K p sin
2
T
Son argument est égal à
e .
2 2
Si x

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Remarque : On a donc T*(p) =
NVM
fictif
( p)
Pr ofondeur( p)
K T p e
p
e
pT e
/2
Ou encore NVM fictif (t) = K p .Te. d Pr
ofondeur
dt
( t ) avec =Te/2,
Dans cette étude, on a totalement négligé l’influence de la quantification, c’est à dire
ici le fait que NVM est un entier.
1.3.3 Complément théorique : Modélisation de l’influence de l’échantillonnage et du blocage.
On étudie l’influence de l’opération de calcul numérique
NVM(nTe) = Kp.[Positionrel(nTe) - Positionrel[(n-1)Te]], en supposant que la
restitution était parfaite (lissage parfait des échantillons).
L’analyse de l’influence du blocage seul se fait en considérant que l’entrée du
bloqueur est un signal échantillonné, constitué d’impulsions de DIRAC S* echan . L’effet d’un
blocage pendant la durée T e de signal échantillonné purement mathématique peut être
rigoureusement modélisé par la fonction de transfert.
S bloqué (j )/ S* echan (j ) = T b (j ) = 1-e - j Te / j
Si après le bloqueur, des structures contribuent à supprimer les raies de fréquence
supérieure à Fe/2 occasionnée par l’échantillonnage, alors l’influence de l’échantillonnage
ET du blocage d’un signal analogique, peut être traduite par une fonction de transfert.
Le modèle mathématique analogique d'un ensemble échantillonneur - bloqueur est
alors assimilé à: T eb (j ) = [1 - e -j Te ] / j Te.
Conditions de validité
- T eb (j ) = S bloqué (j )/ S a (j ) avec
- S a (t) grandeur analogique située avant l'échantillonneur de fréquence maximale f max
inférieur à Fe/2,
- S bloqué (t) la grandeur analogique en sortie du bloqueur, pour laquelle on néglige les
composantes spectrales au-delà de Fe/2. Le modèle est donc valable si après le
bloqueur, on peut considérer qu'il y a un comportement de type passe - bas avec une
fréquence de coupure >>f max .
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Sa
Sa*
Blocage
Sbloqué
Filtre passe bas
Sf
pendant Te
F(p)
Sa
-pTe
(1 - e )
pTe
Filtre passe bas
F(p)
Sf
Figure 5. Approximation analogique équivalent de l’échantillonnage et du
blocage en présence d’un filtre passe bas après le bloqueur.
sin
T e
j T e
2
On peut encore écrire que T eb (j ) = e
2
T
2
sin
T
2
Pour f

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NVC
+
-
NEVNA
-pTe
(1 - e )
pTe
NEV
NVMfictif
Tda(p)=k.Te. p.e
-pTe/2
Profondeur
Figure 6. Modèle analogique équivalent du traitement numérique,
de l’échantillonnage et du blocage. Avec k = Kp=120/0,848 et k.Te=
Kv=1mm/s.
La limite de validité du modèle équivalent analogique Tda est la bande de fréquence
[0, Fe/4] environ. Pour Fe égal à 141,5 Hz, on obtient la bande de fréquence [0, 35 Hz].
Pour la bande de fréquence [0, Fe/4], on peut également considérer que l’ensemble
échantillonnage blocage apporte un simple retard de Te/2 , soit T eb (j )
La vitesse de remontée du moulinet en mm/s vérifie V(p) = 0,848. m(p) avec m la
vitesse de rotation de l’axe du moteur en rd/s. On obtient la représentation ci dessous,
e
j
2
T e
NVC
+
-
NEVNA
-pTe
(1 - e )
=
pTe
-pTe/2
e
NEV
Kna
1 + p/w1
1 + p/w2
Vic
Ki
1 + p/wi
Im
K2
1 + p/w4
Vitesse
mm/s
NVMfictif
Tda(p)=k.Te. p.e
-pTe/2
Profondeur
1/p
Vitesse
Figure 7. Modèle analogique de l’asservissement de vitesse. Domaine de
validité [0, Fe/4] environ. Pas de frottements secs;
k =K p = 120 /0,848 impulsion/mm
K i = 0,267 A/V et i > 6000 rd/s
K 2 = -K m .(0,848).(2. / f v et 4 = f v /J =6,66 rd/s ou f 4 = 1 Hz.
K na = - 23,37V 1 =1/ 1 = 0,68 s 1 = 1,47 rd/s f 1 = 0,23 Hz
et 2 = 1/ 2 = 7,48 s 2 = 0,13 rd/s f 2 = 0,021 Hz
La durée de calcul et le temps de conversion du convertisseur numérique analogique
peuvent être négligés dans cette étude. Leur valeur évaluée à 0,1 ms est négligeable
devant le retard Te = 7,07 ms apporté par la dérivation numérique et l’échantillonnage
blocage.
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On peut également utiliser le modèle ci dessous, puisque le capteur de déplacement
(codeur optique) repère la rotation de l’arbre du moteur. La grandeur de sortie de la boucle
est alors la vitesse de l’arbre du moteur en rd/s
NVC
+
-
NEVNA
-pTe
(1 - e )
=
pTe
-pTe/2
e
NEV
1 + p/w1
Kna
1 + p/w2
Vic
Ki
1 + p/wi
Im
K'2
1 + p/w4
K6
Vitesse
mm/s
NVMfictif
-pTe/2
Tda(p)=Te. p.e
Posrel
Kcodeur
Angle de rotation(rd)
1/p
Vitesse rotation (rd/s)
Figure 8. Variante du modèle analogique de l’asservissement de vitesse
K’ 2 = K2/K6 = - K m /fv
K codeur = 120/2 (120 impulsions par radian)
K 6 = 0,848/2 (mm/rad)
On ne tient pas compte des frottements secs.
On considère que fv est égal à 10 -4 N.m/s et que J est égal à 1,5 10 -5 Kg.m².
2.1 ETUDE DE LA REPONSE A UN ECHELON
Q16) Déterminer l’expression 1% de l’erreur statique (en pourcentage) pour une
vitesse de Consigne NVC0 constante égale à 10 mm/s en fonction de R602,
R601, C603, C604, de f v , T e , de K i coefficient du L292, du coefficient de couple
K m , de K codeur . (K codeur =120/2 ). Calculer la valeur de l’erreur statique NEV et sa
valeur en pourcentage pour un coefficient de frottement fv de 10 -4 N.m/s et Fe
égal à 141.51Hz.
Expression générale de l'erreur statique en fonction de Tbo
L'erreur statique est égale à la limite prise par l'erreur NEVNA (pour t tend vers l'infini)
lorsque l'entrée est un échelon.
Le théorème de la valeur finale, permet d'écrire que,
t
lim
(NEVNA(t)
p
lim
0
p NEVNA(p)
La fonction de transfert d'erreur est définie par
T erreur =
NEVNA
=Terreur =
NVC
1
1
T BO
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NEVNA(p) =
1
1
T BO
NVC(p)
Pour une entrée de consigne sous forme d'un échelon, NVC(p) est égal à
NVCO
p
Cela conduit à lim p NEVNA(p)
=
p
0
p
lim
Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte
On a vu que
0
NVCO
1
T BO
Vic(p) = - I ref
16 ( R R )
1 RCp
601 602
1 R Cp
602
NEV(p)
K na = - I ref
16 (R 601+R 602 )
L'amplification statique (pour la fréquence nulle) du convertisseur numérique
analogique est égale à K na .
La fonction de transfert en boucle ouverte s'écrit,
Tbo(p) =
e
pTe / 2
K
na
1
1
p /
p /
1
2
K K
i
2
1
1
p /
4
K
p
T
e
e
pTe / 2
On obtient l'expression de l'erreur statique suivante
pt
lim
0
p NEVNA(p)
=
1
K
na
NVCO
KiKmK
f
v
codeur
T
e
I
K na K i K codeur K m = -2.38 K codeur = 120 /2. impulsion/tr K na = - ref (R601 +R 602 )
16
L'erreur statique en pourcentage s'écrit
1% =
1
K
na
1
K
iK
mK
f
v
codeur
T
e
soit 0,6%
NEV = 0.06 ce qui correspond à 0.06 mm/s
Q17) Calculer en régime établi la valeur du courant dans le moteur Im, puis de Vic et
enfin la valeur de NEV. Comparer au résultat précédent. Conclure en tenant
compte de la nature réelle de NEV.
Si la vitesse est constante le couple moteur m est égal à fv.
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Comme V(p) = 0,848 m(p )/(2 une vitesse de 10mm/s (à 0.6% prés), correspond à
une vitesse de rotation de l'axe du moteur de 74 rd/s. Donc le couple de frottement
visqueux fv. et le couple moteur ont un module égal à 0,0074 N.m.
m est égal à Km.Im. Donc pour appliquer le couple moteur de 0,0074 N.m de
manière à compenser juste les frottements visqueux et tourner une vitesse constante, il faut
un courant dans le moteur d'intensité -0,37 A.
Vic sera alors égal à -1.38 V
NEV égal à 0.06 mm/s c'est à dire 6% de NVCO (10mm/s)
En réalité comme les grandeurs NEV, NVC et NVM sont numérisées, NEV ne peut
qu'être entier.
A cause de cette quantification NEV va donc osciller entre deux valeurs, 1 et 0.
Q18) Déterminer la valeur initiale de NEV et du courant dans le moteur au début de
l'application de l'échelon de consigne NVC0 égal à 10 en supposant que la
vitesse initiale du moteur est nulle.
La valeur initiale de NEVNA est donc NVC0 - 0 soit 10
Cela donne pour NEV un échelon égal de 10.
A cause de la présence des condensateurs, la valeur initiale de Vic est égale à
Kna
2
1
NEV ou encore,
Vic (0) = - I ref
16
R
601
NEV = Kna
R
601
R
601
R
602
NEV = 2,12 NEV
En effet, le comportement pour le front raide à t égal à zéro correspond à une
impédance nulle pour les condensateurs. (On peut auusi se servir du théorème de la valeur
initiale.
L'application numérique donne Vic (0) = -21,2 V
Compte tenu de l'alimentation du circuit L291, on aura une saturation à -11V environ
puis une limitation du courant à -2A par le L292
La présence des condensateurs permet donc de limiter l'amplification lors de front
raide et d'éviter une saturation trop importante des composants de la chaîne directe.
2.2 ETUDE DE LA STABILITE DE LA BOUCLE
Q19) Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte en fonction de Te.
Déterminer la valeur de la marge de phase et préciser la valeur de f odb en boucle
ouverte pour Fe =141, 5 Hz.
Compte tenu de la valeur de i on peut négliger le déphasage apporté par la fonction
de transfert 1/(1 + p/ i ) par rapport à celui dû à 4 , 2 ou le retard Te. Cela signifie que
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l’étude qui suit nous conduira à étudier une gamme de fréquence nettement inférieure à
f i = i/2 ( on a f i > 700 Hz).
On rappelle que la limite de validité du modèle équivalent analogique utilisé est [0,
Fe/4] soit [0, 35 Hz].
Dans ces conditions, la fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit,
Tbo(p) = e
1
p /
1
K K 2
p / 1 p /
pTe / 2 1
pTe / 2
K na i K p Te
e
1 2
4
k = K p = 120 /0,848 impulsion/mm
K 2 = -K m .(0,848).(2.
/ f v et K na négatif
Tbo(p) =
e
pTe / 2
K
na
1
1
p /
p /
1
2
K
K
i
f
m
v
1
1
p /
4
K
codeur
T
e
e
pTe / 2
K codeur = 120/(2. impulsions/rd
pTe
Tbo(p) = e K T
0
e
1
1
p / 1 1
p / 1 p /
2 4
avec K 0 = - K na K i K codeur K m / f v = (-23,4).(0,267). K codeur K m / f v
K na est négatif. K na K i K codeur K m = -2.38
et K 0 = +2,3 8.10 4 si fv est égal à 10 -4 N.m/s
Pour Te = 7,07ms, l’amplification statique en boucle ouverte est K 0 Te= +168
La courbe de gain ne dépend pas du terme e -j Te .
La courbe de gain coupe l’axe 0 dB pour une pulsation supérieure à 4 , 2 et 1 ,
donc l’amplification dans cette gamme de fréquence se met sous la forme, se met sous la
forme
Tbo K 0 T e
2
1
odb = K
2
0 T e
1
4
4 = 100 rd/s et f odb = 16 Hz.
A cette pulsation l’argument de K
0
T
e
1
1
p / 1 1
p / 1 p /
2 4
vaut pratiquement /2.
Donc Arg( odb) = - T e . odb - /2
T e . odb = K
2 2
0 T e
1
4
= 0,70 rd ou 40°
La marge de phase est alors de 50° environ. Cette valeur est tout à fait satisfaisante.
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Page 24 Référence K 5446 C05
La fréquence f odb est de 16 Hz, cette valeur est largement inférieure à Fe/4 =35 Hz.
Donc les limites de validité du modèle sont respectées. L’évaluation de la marge de phase
et de la stabilité en boucle fermée sont valables.
Q20) Que se passe t-il si on augmente la fréquence d’échantillonnage Te?. On
indiquera qualitativement les modifications que l’on pourrait observer sur la
réponse à un échelon de vitesse?
Si on augmente la période d’échantillonnage, la stabilité diminue très rapidement. En
effet d’une part le déphasage apporté par le retard de Te augmente et d’autre part
l’amplification statique en boucle ouverte augmente (donc la courbe de gain « remonte »).
Ces deux effets cumulés conduisent à,
- une diminution de la marge de phase (diminution de la stabilité)
- une diminution de la pulsation odb pour laquelle le gain en boucle ouverte vaut
0 dB ( diminution de la rapidité en boucle fermée).
Influence de la diminution de Te sur la réponse à un échelon.
Le temps de montée diminue.
La stabilité de la boucle est moins bonne donc, le temps de réponse ne diminue pas
forcément à cause de la présence de pseudo-oscillations.
Le coefficient de la boucle de retour dépend de Te. La valeur finale obtenue est
donnée par Vitesse = NCV/K v = NCV / K p Te. La valeur de la vitesse obtenue n’est
plus la même pour une même consigne.
Donc, à chaque modification de Te, il faudrait ajuster la loi d’élaboration de la
consigne NCV. La période d’échantillonnage choisie par le concepteur permet d’avoir une
loi de commande simple (NVC = 1 si on veut une vitesse de 1 mm/s) et NVC sera toujours
un entier, car la vitesse est réglage par pas de 1 mm/s.
Remarques complémentaires : Influence des caractéristiques mécaniques.
On peut constater que si les frottements visqueux augmentent, la marge de phase
reste inchangée.
Si le moment d’inertie J augmente (changement de moulinet par exemple), la
pulsation odb diminue. La marge de phase est alors plus grande et la stabilité en boucle
fermée meilleure.
Avec le réglage choisi pour le correcteur analogique associé au convertisseur
numérique analogique, la stabilité est satisfaisante.
A la fin de la phase de remontée automatique du moulinet, celui-ci doit rester à la
surface de l’eau. On est alors en mode asservissement de position (voir le document
support).
Q21) Rappeler l’expression de NPM en fonction de la profondeur. On dit que NPM
représente la position absolue. Justifier cette appellation et expliquer pourquoi
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on n’utilise pas directement les sorties des compteurs CPMT1 et /ou CMPT2 pour
obtenir la valeur de la profondeur.
Le principe retenu pour obtenir NPM (Nombre représentatif de la position du moulinet)
est qualifié de mesure absolue de la position.
Puisque NPM = NPM[(n-1)Te] + NVM
NVM représentant le déplacement pendant Te.
NVM = K p .(Déplacement pendant Te) avec K p = 141,51mm -1.
NVM = K v .(vitesse) avec K v = 1s/mm .
donc NPM = NPM[(n-1)Te] + K p .(Déplacement pendant Te)
NPM(nTe) représente la somme des déplacements depuis le moment où NPM a été
initialisé donc la position par rapport à la surface de l’eau. Donc,
NPM (nTe)= K p Profondeur(nTe).
On peut s’étonner du principe retenu à savoir NPM = NPM[(n-1)Te] + NVM.
En effet NPM pourrait être obtenu directement à partir du nombre d’impulsions des
compteurs par NPM = CMPT2 - CMPT1. Mais dans ce cas, il faut d’une part gérer
matériellement la remise à zéro des compteurs pour avoir une référence de position.
Pendant cette remise à zéro, on peut perdre le comptage d’une impulsion ce qui conduirait
à une erreur sur la position. D’autre part, la capacité des compteurs ne doit pas être
dépasser sous peine d’erreurs (une gestion des dépassements serait complexe, du fait de
la présence de deux compteurs indépendants).
Enfin l’utilisation d’un seul compteur en mode décomptage (montée) et comptage
(descente) peut également être envisagé et est plus simple à mettre en œuvre que la
solution précédente. Dans ce cas, il faudrait également prévoir des remises à zéro
matérielles du compteur pour avoir une référence de position. Mais surtout la position
maximale mesurable est alors limitée par la capacité du compteur sauf gestion des
dépassements. Pour un compteur de 16 bits, la valeur maximale de la profondeur serait
32 535.0,848/120 =463,12 mm ce qui est insuffisant.
Dans la structure retenue par le concepteur, la valeur maximale de la profondeur est
fixée par la capacité d’une variable logicielle (ici 32 bits) et la solution est relativement
simple à mettre en œuvre tant d’un point de vue matériel que d’un point de vue logiciel.
En conséquence, on retiendra que dans beaucoup de systèmes assurant un contrôle
de la position par des méthodes numériques, le principe retenu est un calcul de la position
absolue par :
NPM (nTe) = NPM[(n-1)Te] + image déplacement pendant Te.
NVM = image du déplacement pendant Te
Cette opération qui permet à partir d’une image de la vitesse NVM de calculer la
position correspond à ce que l’on appelle une « intégration numérique ».
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Q22) Rappeler l’expression de NEV en fonction de NPM en mode asservissement de
position. Compléter la représentation analogique équivalente proposée cidessous
et faisant apparaître deux boucles imbriquées, une boucle de vitesse
dans une boucle de position. On notera NVC = (NPC -NPM)/16.
NEV = (NPC -NPM)/16 - NVM
avec NPC égal à zéro, car l’asservissement de position doit en fait uniquement servir
de régulation de la position à la surface de l’eau c’est à dire pour la position zéro.
NPM (nTe)= K p Profondeur. avec K p = 141,51mm -1
En notant NVC = (NPC -NPM)/16, on obtient la représentation,
NPC NVC NEVNA NEV Vitesse Profondeur
+ 1/16 + (mm/s) 1/p (mm)
- -
Profondeur
NPM KpTe p e -pTe/2 1/p
Kp
NPM Kp Profondeur
K 6 = 0,848/2 mm/rd et K p = 120/0,848 = 141,51 impulsion/mm
D’autres variantes sont possibles. Par exemple si on utilise comme variable la vitesse
sur l’axe du moteur (en rd/s),
NPC NVC NEVNA NEV Vitesse Profondeur
+ 1/16 + (rd/s) K 6 /p (mm)
Posrel
NPM T e p e -pTe/2 K codeur /p
K p
K codeur = 120/2 impulsion/rd
Les conditions de validité de ces modèles imposent une étude pour les fréquences
inférieures à Fe/4.
Q23) On remplacera la boucle de vitesse par un équivalent analogique en boucle
fermée, H v (p) = Vitesse(p)/NVC(p) Proposer un modèle analogique équivalent à
l’ensemble de la boucle de position et faisant apparaître une seule boucle.
H v (p) = H v0 /(1 + 2mp/ v + p²/ ² v )
avec H v0 = 1/K p Te =120/0,848/Te), v =100rd/s et m=0.5
CENTRE NATIONAL D’ENSEIGNEMENT A DISTANCE DE VANVES
09/98

Référence K 5446 CO5 Page 27
NPC NVC Vitesse Profondeur
+ 1/16 H vo / (1+2mp/ v+p²/ v² (mm/s) 1/p (mm)
-
NPM K p Profondeur
La boucle de vitesse étant stable, la stabilité de la boucle de position peut être
étudiée de manière classique à partir du modèle ci-dessus. On obtient une marge de phase
supérieure à 80°. La présence d’un intégrateur dans la chaîne directe permet de garantir
une erreur statique nulle.
Q24) Expliquer qualitativement le rôle du facteur de division 1/16 intervenant dans le
calcul de NEV et l’intérêt d’avoir une boucle de vitesse imbriquée dans la boucle
de position.
Le coefficient 1/16 joue le rôle de correcteur proportionnel et permet de régler les
performances de la boucle (stabilité, précision). Ce coefficient est choisi sous forme d’une
puissance de 2 de manière à pouvoir obtenir une structure logicielle simple et s’exécutant
rapidement.
La boucle de vitesse s’apparente à un type de correction que l’on appelle « correction
tachymétrique » ou correction « par retour dérivé », car elle utilise la dérivée (vitesse) de la
grandeur de sortie (ici la position). elle permet de régler la fonction de transfert de la chaîne
directe.
En fait, c’est un asservissement interne de vitesse. La vitesse est grande lorsque l’on
est loin de la position souhaitée, mais la consigne de vitesse diminue lorsque l’on
s’approche de la position finale. Correctement réglé, cela permet d’éviter des oscillations
intempestives et de stabiliser l’asservissement en gardant toutefois des bonnes
performances dynamiques.
Agnès FOUCHER - Christian VALADE
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