Graphes planaires - alice

Figure 6 – Subdivision d’un graphe
[Wes01] et [Die00] proposent tous deux des preuves de ce théorème, qui sont
assez similaires. L’idée globale est toujours de passer par les graphes 3-connectés.
La première étape est de démontrer le lemme :
Lemme 1. Un graphe non planaire minimal (en terme de nombre d’arêtes) ne
contenant pas de sous-graphe de Kuratowski est 3-connecté.
L’idée de la preuve est de choisir deux sommets séparateurs du graphe x et y.
On montre qu’ajouter l’arête xy à l’un des lobes crée un graphe non planaire, ayant
moins d’arêtes, et contenant donc un sous-graphe de Kuratowski. Seule l’arête xy
a été ajoutée or comme x et y forment un ensemble séparateur, un autre lobe contient
un chemin de x à y, faisant que G contient une subdivision d’un graphe de
Kuratowski.
L’étape suivante consiste à montrer qu’un graphe 3-connecté ne contenant pas de
sous-graphe de Kuratowski est planaire. Cette démonstration est faite par récurrence
en considérant le fait que dans tous graphe 3-connecté de plus de 5 arêtes, il est
possible de contracter une arête en gardant la 3-connectivité. De plus la contraction
d’arête ne fait pas apparaître de sous-graphe de Kuratowski. Les deux ouvrages
diffèrent sur la fin. En effet, [Wes01] reste sur la notion de subdivision, et démontre
un résultat plus fort, alors que [Die00] passe par les mineurs pour démontrer le
résultat. Je vais vous présenter la preuve de [Wes01].
Lemme 2. Si G est un graphe 3-connecté sans sous-graphe de Kuratowski, alors il
existe une représentation planaire convexe de G sans que trois sommets ne soient
alignés.
Démonstration. Initialisation de la récurrence : si le graphe a moins de 4 sommets,
il s’agit de K 4 qui est le seul 3-connecté qui a une telle représentation.
Étape de récurrence : soit G un graphe 3-connecté sans sous-graphe de Kuratowski.
En contractant une arête xy en un sommet z pour former un graphe H, on
reste 3-connecté, et on ne crée pas de sous-graphe de Kuratowski. Ainsi, on a une
représentation planaire convexe n’ayant pas trois sommets alignés. Une des faces de
H contient le sommet z (s’il s’agit de la face externe, le résultat s’applique, moyennant
quelques déformations n’affectant pas la convexité ni l’alignement de points,
et il doit aussi être possible de changer la face externe pas un isomorphisme, mais
je ne me risquerai pas à prouver qu’un tel isomorphisme conserve la convexité).
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