ELECTRICITE : TD n°5 - Les CPGE de Loritz

ELECTRICITE : TD n°5A – APPLICATIONS DU COURS1°) Donner un schéma possible pour un filtre passe -bas d’ordre 1. Expliquer pourquoi par un raisonnementsimple sur le comportement du condensateur en basses et hautes fréquences pourquoi le circuit joue le rôle depasse-bas. Calculer sa fonction de transfert en fonction de x variable adimensionnée du système.Rép : Circuit R-C série - en basse fréquence Zc=∞ (le condensateur se comporte comme un circuit ouvert) d’où s(t)=e(t) et en haute fréquenceZ c=0 (le condensateur se comporte comme un court-circuit) d’où s(t)=0 – H(jx)=1/(1+jx) où x=ωRC.2°) Donner un schéma possible pour un filtre passe- haut d’ordre 1. Expliquer pourquoi par unraisonnement simple sur le comportement du condensateur en basses et hautes fréquences pourquoi le circuitjoue le rôle de passe-haut. Calculer sa fonction de transfert en fonction de x variable adimensionnée du système.Rép : Circuit C-R série - en basse fréquence Zc=∞ (le condensateur se comporte comme un circuit ouvert) d’où s(t)=0 et en haute fréquenceZ c=0 (le condensateur se comporte comme un court-circuit) d’où s(t)=e(t) – H(jx)=jx/(1+jx) où x=ωRC.3°) Soit la fonction de transfert suivante :1+( jx)²H ( jx)=1+2σ( jx)+ ( jx)²L.PIETRI – Fonction de transfert des réseaux linéaires - Lycée Henri Loritz – PCSI 2où 2σ=1/Q. Donnez l’allure desdiagrammes de Bode en gain et de phase de cette fonction de transfert.Rép : C’est un coupe-bande dont le gain tend vers -∞ pour x=1 et dont la phase présente une discontinuité de π en x=1 (pour x1 ϕ(x)→0 et pour x=1-ε ϕ(x)→-π/2 et pour x=1+ε ϕ(x)→+π/2).4°) Soit la fonction de transfert suivante :H0H ( jx)1+jQ(x −1/x)= .a) Représenter le diagramme asymptotique de Bode en gain pour G 0 =20LogH o =10dB et pourQ=1 et Q=5.b) Représenter le diagramme asymptotique de Bode en phase pour Q=1 et Q=5. Afin d’affiner cediagramme asymptotique on le représentera par trois droites :- Une pour Log[x] variant de[-∞ ; Log(x - )]- Une pour Log[x] variant de[Log(x - ) ; Log(x + )]- Une pour Log[x] variant de[Log(x + ) ; +∞]. où x - et x + sont les pulsations réduites à –3dB.Rép : C’est un passe-bande dont la rotation de phase de π/2 à -π/2 se fait entre Log(x -) et Log(x +).B – TRAVAUX DIRIGESI – Montage inverseur, intégrateur et dérivateur1°) Calculer le rapport s m /e m en fonction de Z 1 et Z 2 .Dans chaque cas suivant, calculer la fonction de transfert,tracer ses diagrammes de Bode et donner un nom à chaquedispositif? On fera bien apparaître l’opération effectuée par chacun deces dispositifs.2°) Z 1 & Z 2 sont des résistances R 1 et R 2 .3°) Z 1 est une capacité C & Z 2 une résistance R.4°) Z 1 est une résistance R & Z 2 une capacité C.Rép : 1°) s m/e m=-Z 2/Z 1 2°) H=-R 2/R 1 ⇒ G=G 0 et ϕ=-π 3°) H (jω)=-jRCω d’où s(t)=-RCde(t)/dt ; G(ω)=20Log(RCω) et ϕ=-π/2. 4°) H (jω)=-1/jRCω d’où s(t)=-1/RC.∫e(t)dt ; G(ω)=-20Log(RCω) et ϕ=+π/2.II – Filtre passif passe-bande1°) Déterminer l’expression de la fonction de trans fertassociée au filtre suivant en sortie ouverte :Montrer qu’il s’agit d’un filtre passe- bande et donner safréquence propre.2°) Etudier la bande passante en fonction des donné es.3°) Mettre la fonction de transfert sous la forme d ’un produitde deux fonctions de transfert du premier ordre, l’une passe-bas,l’autre passe-haut.4°) Faire l’étude asymptotique de ses diagrammes de Bode.Rép : 1°) H( ω)=1/√(9+(RCω-1/RCω)²) , ω 0=1/RC 2°) ∆ω=3/RC 3°) si u=RC ω alors H(ju)=(1+2ju/(3-√5)).(1+2ju/(3+√5)) 4°) on utilisele fait que G=G 1+G 2 et ϕ=ϕ 1+ϕ 2

III – Filtre actif du type passe-bandeSoit le filtre passe-bande multiboucle représenté ci-dessous:1°) Exprimer la fonction de transfert H (jω) de ce filtre ,en régimeharmonique de pulsation ω, sous la forme:−HH( jω)=+ jQ( ω / ω 0 où H10−ω 0/ ω)0 , Q, & ω 0 sont des paramètres réelsqu’on exprimera en fonction des résistances et des capacités. La reconnaissance d’une structure de Rauch peut-vous faire gagner du temps...2-1) Calculer la fréquence f 0 pour laquelle le gain est maximal.2-2) Calculer les fréquences de coupure f 1 & f 2 à -3dB & la bande passante ∆f de ce filtre en fonction de f 0 & Q.2-3) Quelle est l’influence d’une augmentation de la résistance variable R sur les paramètres H 0 , Q, ω 0 et sur labande passante?3°) On donne R=1k Ω, R 1 =R 2 =100kΩ, C 2 =2C 1 = 47nFCalculer les valeurs numériques des paramètres H 0 , Q, f 0 , f 1 & f 2 , ∆f.4°) a)Calculer la valeur maximale du gain.b) Montrer qu’en échelle logarithmique f 0 est au milieu de f 1 et f 2 .c) Tracer le diagramme de Bode en gain à l’aide de trois asymptotes.Rép : 1°) H 0=R 2C 1/[R 1(C 1+C 2)] , Q=1/(C 1+C 2).√[(R 1+R)R 2C 1C 2/RR 1] et ω 0=√[(R 1+R)/RR 1R 2C 1C 2]2-1) f 0=1/2π.√[(R 1+R)/RR 1R 2C 1C 2] 2-2) f 12=f 0/2Q.[±1+√(1+4Q²)] 2-3) Si R augmente (H 0 et ∆f) restent constant et (Q et f 0) diminuent.3°) H 0=1/3 , Q=4,74 , f 0=481Hz , f 1=431Hz et f 2=532Hz d’où ∆f=101Hz.4°) a) G max=-9,54dB b) f ff 2=f 0² ⇒ cqfd c) une horizontale entre f 1 et f 2 en échelle logarithmique.C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRESI – Filtre de Collpitts1°) Etudier la fonction de transfert du filtre de C olpitts utilisé enH0sortie ouverte et la présenter sous la forme : H( jω ) = où l’on1 + jQ( x − 1/ x)exprimera H 0 ,Q & ω 0 en fonction de ses composants.2°) Tracer le diagramme asymptotique de Bode de gai n de ce filtre pour Q=1 et G 0 =20LogH 0 =-7dB.3°) Tracer le diagramme asymptotique de Bode de ga in de ce filtre .Rép : 1°) 1/Q=L ω 0/R=RCω 0 , H 0=1/(1+C 2/C 1) , ω 0²=1/LC où x=ω/ω 0 2°) et 3°) cf coursII – Double intégrateur1°) Calculer le fonction de transfert de ce montage .2°) Montrer que l’on peut qualifier ce montage de d oubleintégrateur.3°) Représenter les diagrammes de Bode de ce circui t.Rép : 1°) H(j ω)=-R²C²ω² 2°) e(t)=-R²C².d²s(t)/dt².3°) G(x= ω/ω 0)=-40log(x) et ϕ=0.III – Filtre R-L-C sélectif coupe-bandeLe filtre représenté ci-dessous est constitué:- d’une résistance R variable- de deux capacités identiques C=1,0 µF- d’une bobine d’inductance propre : L=0,50 H et de résistance r=25Ω.Ce filtre est alimenté à l’entrée, entre A 1 & B 1 , par une tension sinusoïdale v 1 defréquence f=ω/2π variable. La sortie du filtre est en circuit ouvert.1°) Pour quelle valeur R 0 de la résistance R et pour quelle fréquence f 0 =ω 0 /2π latension de sortie est-elle nulle? Calculer alors le facteur de qualité Q=Lω 0 /r de la bobine.2°) On donne à la résistance variable R la valeur R 0 .a) Exprimer la fonction de transfert de ce filtre sous la forme: H=1+ 1 où u est unjuparamètre que l’on exprimera en fonction du paramètre fréquentiel x=f/f 0 et de Q.b) Représenter le diagramme de Bode d’amplitude de ce filtre: G dB =f(x). On précisera en particuliersles valeurs de G pour x=0; 0,99; 0,9999; 1; 1,01; 1,0001; ∞. Conclusion?c) Calculer en Hertz, la bande rejetée à -3dB par ce filtre.Rép : 1°) f 0=1/π√(2LC) et R 0=1/2rC 2°) a) u=2x/Q(1-x²) b) C’est un coupe bande très sélectif c) ∆f=15,9HzL.PIETRI – Fonction de transfert des réseaux linéaires - Lycée Henri Loritz – PCSI 2