MECANIQUE : TD n°5 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°5A – APPLICATIONS DU COURS1°) Calculer la vitesse v d’un satellite circulaire terrestre de masse m, en fonction de l’intensité de lagravitation au sol g 0 =9,81ms -2 , du rayon terrestre R T =6370km et de son altitude h.Rép : v=√(g 0R T²/(R T+h))2°) En déduire la troisième loi de Képler.Rép=T=2πr/v⇒(R T+h) 3 /T²=g 0R T²/4π²3°) Démontrer les trois lois de KéplerRép : a) Le mouvement est plan b) C/2=dS/dt 3°) a 3 /T²=cste4°) Démontrer les lois de Binet.Rép : a) v²=C²[u’²+u²] où u=1/r et du/dθ=u’b) a=-C²u²[u’’+u]e r5°) Le premier satellite artificiel avait son apogée à une altitude h A =327km et son périgée à h P =180km.a) Déterminer les caractéristiques géométriques de la trajectoire (a,b,c,e,p) sachant que R T =6370km.b) L’intensité de la gravitation au sol étant g 0 =9,81ms -2 , calculer sa période de révolution T.Rép : a) a=6623km, c=73km, e=c/a=0,011, p=6622km et b=6622km b) T=1h29minB – TRAVAUX DIRIGES n°20I – VOYAGE INTERPLANETAIRE DE LA TERRE A MARSPour envoyer un vaisseau spatial vers une autre planète, Mars dans cetexercice, on le place au préalable sur une orbite (dite de parking) autour de la Terre.Un moteur auxiliaire lui fournit alors l'énergie nécessaire pour le placer sur l'orbiteinterplanétaire ; le moment adéquat du transfert dépendant des positions relatives dela Terre et de la planète de destination. On suppose que la Terre et Mars décriventdes orbites circulaires autour du soleil, de rayons respectifs R T =1U.A et R M =1,52 UA(on rappelle que 1 UA = 150.10 6 km), situées dans le même plan (plan de l'écliptique),leurs vitesses respectives étant v T =29,8km.s -1 et v M =24,2km.s -1 . L’orbite de transfert (dite « orbite de Hohman » dunom de l'astronome qui l'a étudié le premier) est une ellipse tangente à l'orbite de la Terre au départ et à l'orbite deMars à l'arrivée. Le départ du vaisseau a lieu quand il se trouve sur la face sombre de la Terre (point D), la vitessedu vaisseau sur son orbite de parking et celle de la Terre sur son orbite autour du Soleil étant de même sens. Laposition de Mars coïncide avec celle du vaisseau à l'arrivée de celui-ci (point A).On suppose que le vaisseau n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle du Soleil (on néglige celle de laTerre), que le rayon de l'orbite de parking est négligeable devant la distance Terre-Soleil et que la vitesse duvaisseau dans le référentiel héliocentrique au départ est la même que celle de la Terre sur son orbite autour duSoleil.1°) Calculer la vitesse v D du vaisseau en D sur l'ellipse de Hohman. En déduire la variation de vitesse duvaisseau et l'énergie que doivent fournir les moteurs.2°) Calculer la vitesse v A du vaisseau en A sur l'ellipse de Hohman. En déduire la variation de vitesse duvaisseau et l'énergie que doivent fournir les moteurs. Commenter.3°) Calculer la durée du transfert.4°) Quelle était la position de Mars sur son orbite au départ du vaisseau pour que la rencontre soitpossible? On donnera la valeur de l'angle (ST 1 , SM 1 ), où T 1 et M 1 désignent les positions de la Terre et de Mars àl'instant où part le vaisseau.Rép : 1°) v D=v T√(2R M/(R T+R M))=32,7km.s -1 , ∆v=2,9km.s -1 et ∆ε=1/2.mv T²(R M-R T)/(R M+R T)=91,6.10 6 m (en Joules)2°) v A=v DR T/R M=21,5km.s -1 , ∆’v=2,7km/s et ∆’ε=60,3.10 6 m (en J) 3°) τ=T 0/2.[(R T+R M)/2R T] 3/2 =258jours 4°) α=2πτ/T M=44,2°II – FREINAGE D’UN SATELLITE QUASI-CIRCULAIREDans les couches supérieures de l’atmosphère, un satellite circulaire de masse m est faiblement freiné parune force de norme f r =αmv², où α est une constante positive et v la vitesse du satellite dans le référentielgéocentrique R 0 . En admettant que la trajectoire du satellite reste quasi circulaire, calculer, après une révolution :- les variations ∆E m de son énergie mécanique- et ∆ E k de son énergie cinétique- et ∆r du rayon de son orbiteRép : ∆E m=-2παGmM T ∆E k=-∆E m et ∆r=-4παr²C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRESI – CHANGEMENT DE TRAJECTOIREUn satellite de masse m décrit une orbite circulaire de rayon r 0 à la vitesse v 0 . On lui communique unpetit accroissement de vitesse δv 0 colinéaire à v 0 . Sa période de révolution T 0 varie de δT.1°) Calculer δT/T 0 en fonction de δr 0 /r 02°) Calculer δT/T 0 en fonction de δv 0 /v 0Rép : 1°) 2δT/T 0=3δr 0/r 0 2°) δT/T 0=3δv 0/v 0.L.PIETRI - Problème à deux corps//Champs newtoniens - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 – Année Scolaire 2005/2006

II – EXPERIENCE DE RUTHERFORD0 - un petit peu d’histoire...L'expérience réalisée en 1911 par Sir Ernest Rutherford et ses collaborateurs est schématisée sur la figuresuivante. Les particules alpha (c'est-à-dire des noyaux d'hélium portant la charge positive +2e, émis parradioactivité sont envoyées sur une cible constituée par une mince feuille d'or d’épaisseur typique 500nm, ce quireprésente un nombre de couches atomiques de l’ordre de 10 3 ; l’impact de ces particules sur des écrans au sulfurede zinc provoque une scintillation qui permet de mesurer la déviation qu’elles ont subie.L'expérience montre que l'immense majorité des particules traversent la cible sans être déviées, alors quecertaines d'entre elles subissent une déviation parfois supérieure à 90°.Les particules α interagissent par les forces électrostatiques avec la distribution de charges de la matière.On savait à l'époque que la charge négative était portée par des particules légères, les électrons, de masseenviron 8000 fois plus faible que celle d'une particule α. Il s'ensuit que, dans le référentiel du laboratoire, lesdéviations angulaires produites par leurs collisions sont très faibles, même si l'on tient compte des vitessesplausibles des électrons dans la matière. Au contraire la distribution de charge positive, à laquelle est associél'essentiel de la masse, doit pouvoir produire des déviations importantes. Rutherford a supposé que ces fortesdéviations étaient donc dues à la répulsion électrostatique entre les particules α et la partie de l'atome chargéepositivement; d’autre part le fait que des déviations soient rares, en dépit du grand nombre de couches atomiquestraversées, suggère que cette charge positive est répartie dans une petite région de l’espace: le noyau del’atome...1°) But de l’expérience et hypothèses simplificatrices :Nous allons supposer ce noyau ponctuel, et montrer quel’expérience de Rutherford permet de fixer une borne supérieure àses dimensions (du noyau).Une particule α de masse m et de charge q=2e, venant del’infini avec la vitesse v 0 , s’approche avec le paramètre d’impact bd’un noyau cible de masse M ” m et de numéro atomique Z.Expliquer pourquoi on peut considérer le noyau comme fixeet ainsi appliquer les lois de la mécanique à la particule α.2°) Utilité du vecteur de Runge-Lenz pour les exercices dediffusion :A l’aide d’un petit peu de géométrie et de la conservation duvecteur de Runge-Lenz, démontrer que:tan D =2k2mbv3°) Pour finir les lois de conservation de L et E m :A l’aide des lois de conservation, démontrer que: r m = k (2mv1+1sin( D/ 2 ) )0A l’aide de cette relation, déterminer la distance d’approcheminimale. Que peut-on en déduire sur la taille du noyau, sur la taille du“ proton ”?A.N: v 0 =1,70.10 7 ms -1 , Z or =79, m=4m pRép : 1°) G est confondu avec le noyau et M avec α. 2°) Calculer R au début du mouvement sachant que R.e y=Rcosα/23°) r m=38fm et R nucléon