TD 1 : Processus de Lévy. 1 Processus de Poisson 2 Lois infiniment ...

ENSTA, Master MMMEFTD 1 : Processus de Lévy.1 Processus de PoissonN tExercice 1 Soit N = (N t ) un processus de Poisson d’intensité λ. Montrer que lim =( )t→+∞ tNt − λtλ p.s. et que le processus √ converge en loi quand t tend vers +∞ vers uneλtloi gaussienne centrée réduite.t≥0Exercice 2 Montrer que si N = (N t ) et (Ñt) t≥0 sont deux processus de Poisson indépendants,d’intensité respective λ et µ, alors la somme est un processus de Poissond’intensité λ + µ.2 Lois infiniment divisiblesOn reprend les exemples du cours.Exercice 31. Calculer la fonction caractéristique de la loi de Laplace de paramètreλ > 0 de densité f(x) = λ 2 exp(−λ|x|).2. Par transformée de Fourier inverse, calculer la fonction caractéristique d’une loicde Cauchy de paramètre c > 0 de densité g(x) =π(c 2 + x 2 ) .3. En déduire que la loi de Cauchy est infiniment divisible.Exercice 4 Soit X v.a. de loi Γ de paramètres c et α donnée par sa densité :f c,α (x) =αcΓ(c) xc−1 e −αx 1 R ∗+(x).1. Calculer la transformée de Laplace de X : E(e −uX ) avec u ≥ 0.2. En déduire sa fonction caractéristique.3. Montrer alors que les lois Γ et exponentielles sont infiniment divisibles.4. Calculer leurs triplets caractéristiques.A. Popier 1

avec α et β réelles, λ ≥ 0, A ≥ 0 et B ≥ 0, p ∈]0, 1[ et δ y est la masse de Dirac au pointy :∀A ⊂ R, δ Y (A) = 1 si y ∈ A, δ Y (A) = 0 si y ∉ A.Préliminaires.1. Déterminer à quelles conditions sur α, β et λ, la mesure ν est une mesure de Lévy.On distinguera bien le cas λ = 0 et le cas λ > 0.2. Que peut-on dire des sauts négatifs du processus X ?3. Montrer que si β > 0 et α > 0, alors∫ ∞0x β−1 (1 + x) −α−β dx = Γ(α)Γ(β)Γ(α + β) .On pourra utiliser l’indication et le changement de variable y =x1 + x .Partie 1 : étude des sauts de X. Dans cette partie, on suppose que σ = 0. Toutd’abord on va supposer λ = 0.1. À quelles conditions sur α et β, X t admet-il un moment d’ordre n ∈ N ∗ (avec t > 0fixé quelconque)?2. Calculer E(X t ) si elle existe, en fonction de la fonction de répartition d’une loibéta au point 1/2.3. À quelle condition sur β, X est-il un processus de Poisson composé avec dériveγ 0 ? Quelle est la valeur de cette dérive en fonction de la fonction de répartitiond’une loi béta au point 1/2?4. Montrer que si β > 0, X se décompose comme suit :avecX t = γ 0 t +N 1 t∑i=1Y i1 + Y i−N 2 t∑Z j ,– N 1 = (N 1 t ) t≥0 et N 2 = (N 2 t ) t≥0 deux processus de Poisson d’intensité respectiveµ 1 et µ 2 à déterminer,– les Y i suivant une loi béta de paramètres α et β,– les Z i une loi géométrique de paramètre p,– N 1 , N 2 , Y = (Y i ) i∈N ∗ et Z = (Z i ) i∈N ∗ étant tous indépendants.5. En admettant que l’on sache simuler des lois béta et géométrique, proposer unalgorithme de simulation du processus de Lévy X pour β > 0. On supposera ladérive γ 0 connue.On suppose maintenant que λ > 0.6. Pour quels u ∈ R a-t-on E exp(uX t ) < +∞?7. Si B = 0, calculer l’exposant caractéristique Ψ de X et en déduire E exp(uX t ).j=1A. Popier 4

1. X t admet un moment d’ordre n ∈ N ∗ si et seulement si∫|x|≥1|x| n ν(dx) = A∞∑k n p k + Bk=1Il faut donc que −α − 1 + n < −1 soit α > n.2. Si α > 1, alorsE(X t ) = γt + A3. Il faut que∞∑kp k + Bk=1∫ ∞11/2∫ ∞1x β (1 + x) −α−β dx∫p1= γt + A(1 − p) 2 + B y β (1 − y) α−2 dyx β−1 (1 + x) −α−β x n dx < ∞.p Γ(α − 1)Γ(β + 1) Γ(α + β)= γt + A + B(1 − p)2Γ(α + β) Γ(α − 1)Γ(β + 1) 0p Γ(α − 1)Γ(β + 1)= γt + A + B F (1/2; β + 1, α − 1).(1 − p)2Γ(α + β)∫ 10∫ 1/2(1 − y) β y α−2 dyν(dx) < ∞, soit β − 1 > −1 ⇔ β > 0. Au quel cas la dérive γ 0 est donnée parγ 0 = γ −∫ 1= γ − Bxν(dx) = γ − B0∫ 1/20∫ 10x β−1 (1 + x) −α−β dxy β−1 (1 − y) α−1 dy = γ − B Γ(α)Γ(β) F (1/2; β, α).Γ(α + β)4. Si β > 0, X est un processus de Poisson composé avec dérive γ 0 . Les sauts positifs sont d’aprèsla question 3 des préliminaires distribués comme une variable aléatoire Y/(1 + Y ) où Y suit uneloi béta de paramètres α et β. Les sauts négatifs suivent une loi géométrique de paramètre p. Ilreste à trouver l’intensité des sauts positifs µ 1 et des sauts négatifs µ 2 . Pour celasoitDe mêmeEt ainsiBx β−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x) = B Γ(a)Γ(b) Γ(a + b)Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xβ−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x)Γ(a + b)= µ 1Γ(a)Γ(b) xβ−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x)Aµ 1 = B Γ(a)Γ(b)Γ(a + b) > 0.∞∑p n = Ap1 − p = µ 2 > 0.n=1N 1 tN∑ Y i∑2 tX t = γ 0 t + − Z j ,1 + Y ii=1avec les conditions voulues.5. Il suffit de réutiliser l’algorithme donné en cours :(a) simuler une v.a. de Poisson N 1 de paramètre µ 1 T ,(b) simuler une v.a. de Poisson N 2 de paramètre µ 2 T ,(c) simuler N 1 v.a. indépendantes U 1 i de la loi uniforme sur [0, T ],(d) simuler N 2 v.a. indépendantes U 2 i de la loi uniforme sur [0, T ],(e) simuler les sauts : N 1 v.a. indépendantes Y i de loi béta de paramètres α et β, N 2 v.a.indépendantes Z i de loi géométrique de paramètre p;A. Popier 6j=1

∑N 1(f) poser X t = γ 0 t +i=11 U 1i ln(p)x≥1e ux ν(dx) = B∫ ∞Ainsi on doit avoir ln(p) < u < λ sauf si A = 0 ou B = 0.7. Si B = 0, on an=11e ux x β−1 (1 + x) −α−β e −λx < ∞ ⇔ u < λ.∞∑∞∑Ψ(z) = iγz + (e −izn − 1 + izn1 n=1 )p n = iγz + (e −iz − 1 + iz) + (e −izn − 1)p n= iγz + (e −iz 1− 1 + iz) +1 − e −iz p (pe−iz ) 2 − p21 − p .E exp(uX t ) = e tΨ(−iu) = exp tn=2[]γu + (e −u 1− 1 + u) +1 − e −u p (pe−u ) 2 − p2.1 − p8. Comme précédemment il faut avoir β > 0. C’est la même décomposition. Donc µ 4 = µ 2 etLa densité des V i est donnée parµ 3 = B∫ ∞0x β−1 (1 + x) −α−β e −λx dx.f(x) = B µ 3x β−1 (1 + x) −α−β e −λx 1 ]0,+∞[ (x).9. On a pour x > 0f(x) = B µ 3x β−1 (1 + x) −α−β e −λx ≤ B µ 3x β−1 (1 + x) −α−β = B µ 3Γ(a)Γ(b)Γ(a + b) g(x)Γ(a + b)avec g(x) =Γ(a)Γ(b) xβ−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x). Donc C = B Γ(a)Γ(b). La simulation desµ 3 Γ(a + b)V i se fait donc par rejet à partir de Y de loi béta de paramètres α et β, g étant la densité deY/(1 + Y ).✷A. Popier 7