TD 1 : Processus de Lévy. 1 Processus de Poisson 2 Lois infiniment ...

avec α et β réelles, λ ≥ 0, A ≥ 0 et B ≥ 0, p ∈]0, 1[ et δ y est la masse de Dirac au pointy :∀A ⊂ R, δ Y (A) = 1 si y ∈ A, δ Y (A) = 0 si y ∉ A.Préliminaires.1. Déterminer à quelles conditions sur α, β et λ, la mesure ν est une mesure de Lévy.On distinguera bien le cas λ = 0 et le cas λ > 0.2. Que peut-on dire des sauts négatifs du processus X ?3. Montrer que si β > 0 et α > 0, alors∫ ∞0x β−1 (1 + x) −α−β dx = Γ(α)Γ(β)Γ(α + β) .On pourra utiliser l’indication et le changement de variable y =x1 + x .Partie 1 : étude des sauts de X. Dans cette partie, on suppose que σ = 0. Toutd’abord on va supposer λ = 0.1. À quelles conditions sur α et β, X t admet-il un moment d’ordre n ∈ N ∗ (avec t > 0fixé quelconque)?2. Calculer E(X t ) si elle existe, en fonction de la fonction de répartition d’une loibéta au point 1/2.3. À quelle condition sur β, X est-il un processus de Poisson composé avec dériveγ 0 ? Quelle est la valeur de cette dérive en fonction de la fonction de répartitiond’une loi béta au point 1/2?4. Montrer que si β > 0, X se décompose comme suit :avecX t = γ 0 t +N 1 t∑i=1Y i1 + Y i−N 2 t∑Z j ,– N 1 = (N 1 t ) t≥0 et N 2 = (N 2 t ) t≥0 deux processus de Poisson d’intensité respectiveµ 1 et µ 2 à déterminer,– les Y i suivant une loi béta de paramètres α et β,– les Z i une loi géométrique de paramètre p,– N 1 , N 2 , Y = (Y i ) i∈N ∗ et Z = (Z i ) i∈N ∗ étant tous indépendants.5. En admettant que l’on sache simuler des lois béta et géométrique, proposer unalgorithme de simulation du processus de Lévy X pour β > 0. On supposera ladérive γ 0 connue.On suppose maintenant que λ > 0.6. Pour quels u ∈ R a-t-on E exp(uX t ) < +∞?7. Si B = 0, calculer l’exposant caractéristique Ψ de X et en déduire E exp(uX t ).j=1A. Popier 4