TD 1 : Processus de Lévy. 1 Processus de Poisson 2 Lois infiniment ...

1. X t admet un moment d’ordre n ∈ N ∗ si et seulement si∫|x|≥1|x| n ν(dx) = A∞∑k n p k + Bk=1Il faut donc que −α − 1 + n < −1 soit α > n.2. Si α > 1, alorsE(X t ) = γt + A3. Il faut que∞∑kp k + Bk=1∫ ∞11/2∫ ∞1x β (1 + x) −α−β dx∫p1= γt + A(1 − p) 2 + B y β (1 − y) α−2 dyx β−1 (1 + x) −α−β x n dx < ∞.p Γ(α − 1)Γ(β + 1) Γ(α + β)= γt + A + B(1 − p)2Γ(α + β) Γ(α − 1)Γ(β + 1) 0p Γ(α − 1)Γ(β + 1)= γt + A + B F (1/2; β + 1, α − 1).(1 − p)2Γ(α + β)∫ 10∫ 1/2(1 − y) β y α−2 dyν(dx) < ∞, soit β − 1 > −1 ⇔ β > 0. Au quel cas la dérive γ 0 est donnée parγ 0 = γ −∫ 1= γ − Bxν(dx) = γ − B0∫ 1/20∫ 10x β−1 (1 + x) −α−β dxy β−1 (1 − y) α−1 dy = γ − B Γ(α)Γ(β) F (1/2; β, α).Γ(α + β)4. Si β > 0, X est un processus de Poisson composé avec dérive γ 0 . Les sauts positifs sont d’aprèsla question 3 des préliminaires distribués comme une variable aléatoire Y/(1 + Y ) où Y suit uneloi béta de paramètres α et β. Les sauts négatifs suivent une loi géométrique de paramètre p. Ilreste à trouver l’intensité des sauts positifs µ 1 et des sauts négatifs µ 2 . Pour celasoitDe mêmeEt ainsiBx β−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x) = B Γ(a)Γ(b) Γ(a + b)Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xβ−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x)Γ(a + b)= µ 1Γ(a)Γ(b) xβ−1 (1 + x) −α−β 1 ]0,+∞[ (x)Aµ 1 = B Γ(a)Γ(b)Γ(a + b) > 0.∞∑p n = Ap1 − p = µ 2 > 0.n=1N 1 tN∑ Y i∑2 tX t = γ 0 t + − Z j ,1 + Y ii=1avec les conditions voulues.5. Il suffit de réutiliser l’algorithme donné en cours :(a) simuler une v.a. de Poisson N 1 de paramètre µ 1 T ,(b) simuler une v.a. de Poisson N 2 de paramètre µ 2 T ,(c) simuler N 1 v.a. indépendantes U 1 i de la loi uniforme sur [0, T ],(d) simuler N 2 v.a. indépendantes U 2 i de la loi uniforme sur [0, T ],(e) simuler les sauts : N 1 v.a. indépendantes Y i de loi béta de paramètres α et β, N 2 v.a.indépendantes Z i de loi géométrique de paramètre p;A. Popier 6j=1