Université Claude Bernard Lyon 1 - Kora

6. Annexe 1 : procédures de l’ENFALes variables sont tout d'abord normalisées au possible puis standardisées :x ij −x jz ij =σ xjoù x ij est la valeur de la variable x j dans la cellule i,x j la moyenne de cette variable etσ xjson écart type. Soit Z la matrice N × V des z ij . Z est la matrice de disponibilité. Les N S lignesde Z qui correspondent à une présence forme la matrice N S × V appelée S, la matrice deprésence. Les matrices de covariance sont calculées :RZ= Z T ZN 1R S TSS=N 1SLa facteur de marginalité est défini par le vecteur des moyennes sur les V colonnes de S :NS⎧m= ⎨ ∑⎩N 1Si=1zij⎫⎬⎭Les vecteurs u de spécialisation sont ensuite définis tels qu'ils soient orthogonaux à m (u T m =0) et qu'ils maximisent le ratio de la variance globale sur la variance de l'espèce u T R Z u/u T R S u.Le problème est alors équivalent à trouver u tel que :T⎪⎧ u R Su⎨ = = T0 1u mT⎪⎩ u RZumaxUne transformation des variables permet de réécrire le problème. On pose v = R Z 1/2 u, y =z/ z z T , z = R S -1/2 m et W = R S -1/2 R Z R S -1/2 . Le problème revient à trouver v tel que :⎪⎧⎨⎪⎩ vTTv v= = Ty 0 1vWv maxLa solution est donnée par les vecteurs propres deH = (I V – yy T ) W (I V – yy T )Les vecteurs sont à nouveau transformés (u = R S -1/2 v) et forment la matrice U. A cause de lacontrainte d'orthogonalité entre u et m, le système a une valeur propre nulle. Le vecteurcorrespondant est enlevé de U et est remplacé en première colonne par m.31