Corrigé des exercices sur la proportionnalité - IUFM

Préparation accélérée CRPEMathématiquesProportionnalitéCorrigés des exercicesExercice 1 : Vrai-Faux1. FAUX. L’aire d’un disque de rayon r est π r², l’aire d’un disque de rayon 2r est π(2r)² = 4πr². En doublant lerayon, on quadruple l’aire donc la proportion n’est pas gardée.Ou bienLa fonction qui au rayon associe l’aire du disque est telle que f(r)= πr². Ce n’est pas une fonction linéaire car ellen’est pas de la forme f(x) = ax. Il n’y a donc pas proportionnalité.2. FAUX. Si la vitesse augmente, la durée du voyage diminue… ce qui contredit la notion de proportionnalité.Ou bienOn a la relation suivante entre la distance d, la vitesse v et le temps t : v = d/t. On en conclut que la durée duvoyage n’est pas « proportionnelle » à la vitesse, mais « inversement proportionnelle » à la vitesse.3. VRAI. Si a est la valeur de la grandeur avant augmentation. Soit b la valeur de la grandeur après augmentation :25 25b=a+a x =a x (1 + )=a x (1+0,25)=a x 1,25.100100Augmenter de 25%, c’est multiplier par 1,25.4. VRAI. Si a est la valeur de la grandeur avant diminution. Soit b la valeur de la grandeur après diminution :b = a – a x 25100=a x (1-0,25) = a x 0,75.5. FAUX. Pour un prix initial de 100 €, l’augmentation de 20% donne un nouveau prix de 120 €, la baisse de 20%donne un prix final de 0,8 × 120 = 96 €. Le prix a donc changé.6. FAUX. Soit a la valeur initiale, soit b la valeur obtenue après la première augmentation :D’après ce qui précède : b = a x 1,12.Soit c la valeur obtenue après la seconde augmentation :D’après un raisonnement analogue à celui de b) c = 1,27x b, soit en remplaçant b par sa valeur :42, 24c = 1,27 x 1,12 x a = 1,4224 x a = a x (1 + ) ce qui correspond approximativement à une augmentation de 42%.1007. FAUX. Le rapport entre la quantité d’eau et la quantité de limonade de varie pas : il y a donc 80% d’eau dansun demi-litre de limonade.8. VRAI. Pour une communication de durée t, le prix avant 18h est p. Pour cette même durée, le prix après 18h est0,8 p. Le prix est proportionnel à la durée. Donc, pour le même prix p, après 18h, on communique pendant untemps t / 0,8 = 1,25 t. Ce qui correspond à 25% de temps en plus.Après 18 h :Prixtemps de communication0,8p tpypxt tOn a donc 0,8p x y = p x t d’où y = = = 1,25 t0,8xp 0,8Pour un pour un prix p, le temps de communication est donc de 25 % plus long.ARemarque :Un pourcentage étant un rapport entre deux nombres, il ne dépend pas du choix de l’un de ces deux nombres : onpeut donc ici raisonner également sur un exemple.9. FAUX. 4 262 ×100 = 55,2 . Le nombre de tués en 2010 représente environ 55% des tués de 2001 soit une7 720baisse de 45% environ.Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20101

0u encore7720 - 4262x 100 = 44,8. Même conclusion.772010. FAUX. Avant agrandissement, 1 cm sur la carte représente n cm sur le terrain, l’échelle de la carte est 1/n.Après agrandissement, 2 cm sur la carte représentent toujours n cm sur le terrain, ainsi l’échelle de la nouvellecarte est 2/n. On ne divise pas par deux l’échelle de la carte, on la multiplie par deux.11. FAUX. Quand on triple les dimensions d’un rectangle, sa longueur L est multipliée par 3 et sa largeur l aussi.L’aire du rectangle agrandi est donc 3Lx3l = 9xLxl. Elle est donc 9 fois plus grande que l’aire du rectangle initial.Exercice 21. Pour résoudre ce problème, bien que la relation entre 8 et 24 soit simple à mettre en évidence, il est plus difficilede la mettre en mots pace que ce sont des mesures de grandeurs différentes. Il est plus facile de mettre en mots larelation entre 8 et 32 qui sont des mesures d’une même grandeur : une barre 4 fois plus longue pèse 4 fois pluslourd. La barre de 32 m pèsera donc 4x24 kg = 96 kg. Ici on la propriété de linéarité relative à la multiplication.2. Pour résoudre ce problème, on n’utilise plus les propriétés de linéarité entre 4 et 7, puisque la relation entre 4 et7 n’est pas facile à mettre en évidence. Mais cette fois on procède en calculant combien pèse une barre de 1 m delongueur. Cette dernière pèse quatre fois moins lourd qu’une barre de 4 m, soit 16 kg : 4 = 4 kg.Une barre de 7 m de long pèsera donc 7 fois plus qu’une barre de 1 m de long, soit 7x4 kg = 28 kg.Ce cas particulier où l’on doit passer par l’unité illustre la règle de trois.On aurait pu aussi utiliser la procédure s’appuyant sur l’écriture des égalités de quotient, issue de la définition des4 7suites proportionnelles : = qui est équivalente au « produit en croix » 4x ? = 16x7 et qui permet de dire que la16 ?masse de la barre de 7 m est égale en m à (16x7) :4 soit 28kg.On aurait aussi pu utiliser le coefficient de proportionnalité : 4 kg/m (Relation entre 4 et 16 : une barre de 4 m pèse16 kg, une barre de 7 m pèse 7 m x 4 kg/m = 28 kg.3. Dans le cas du problème du mélange de café les deux grandeurs en jeu sont de même nature et de ce fait, lecoefficient de proportionnalité est facile à expliciter : le mélange contient 3 fois plus d’Arabica que de Robusta.Dans ce cas pour 32kg de Robusta, il faudra mettre trois fois plus d’Arabica soit 3 x 32 kg = 96 kg.Mais il est aussi possible d’utiliser un autre raisonnement basé sur les propriétés de linéarité : si on met 4 fois plusde Robusta, pour avoir le même mélange, on doit mettre 4 fois plus d’Arabica, soit 4x 24 kg d’Arabica.4. La relation entre 8 et 32 est simple à mettre en évidence et dans ce cas, on utilisera les propriétés de linéaritérelative à la multiplication : un mélange qui contient 4 fois plus de Robusta doit contenir 4 fois plus d’Arabica. Doncpour 32 kg de Robusta, il faudra mettre 4x13 kg = 52 kg d’Arabica.5. Cette fois c’est la relation entre 57 et 19 qui est facile à mettre en évidence (57 = 3x19) et pour résoudre leproblème, on utilisera le coefficient de proportionnalité : le mélange de café contient 3 fois plus d’Arabica que deRobusta. Avec 25 kg de Robusta, il faut donc mettre 3x25 kg d’Arabica.Exercice 3Il s’agit d’un problème de comparaison.On va ramener les recettes à la même quantité de sachets de thé soit 12. Il faut donc multiplier toutes les quantitéspar 4 pour recette A et par 3 pour la recette B.Recette A : 12 sachets de thé, 6L d’eau et 24 cuillérées à soupe de sucre.Recette B : 12 sachets de thé, 6L d’eau et 21 cuillérées à soupe de sucre.On en déduit que c’est avec la recette A que le thé est le plus sucré.Exercice 41. C’est un problème de proportionnalité double : une grandeur varie (ici le nombre de pains) proportionnellement àdeux variables indépendantes (le nombre de boulangers et la durée). On traite le problème en fixant une donnée(ici le temps) et en travaillant sur les deux autresSi 4 boulangers font 4 pains en 4 minutes, 12 (12 = 3x4) boulangers font 3 fois plus de pains pendant la mêmedurée soit 12 pains en 4 minutes.Puis on fait varier la troisième donnée :Comme 12 min = 3 x 4 min, 12 boulangers font 3 fois plus de pain soit 3x 12 = 36 pains durant une durée trois foisplus longue : 12 minutes.On utilise la propriété de linéarité relative à la multiplication.2. C’est un problème de proportionnalité composée : une grandeur (ici le poids de pain) varie proportionnellementà une autre grandeur (le poids de farine) qui elle-même varie proportionnellement à une troisième grandeur (ici lepoids de blé).Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20102

Pour résoudre ce problème, on traite successivement deux problèmes de proportionnalité :Pour obtenir 30 kg de pain, il faut 25 kg de farine. Comme 450 kg = 15x30 kg, pour obtenir 15 fois plus de pain, ilfaudra 15 fois plus de farine, soit 15x25 kg de farine soit 375 kg de farine.Pour obtenir 75 kg de farine, il faut 100 kg de blé. Comme 375 kg = 5x75 kg, pour obtenir 5 fois plus de farine, ilfaudra 5 fois plus de blé soit 500 kg. Il faut donc 500 kg de blé pour obtenir 450 kg de pain.Exercice 5Le premier raisonnement est erroné : la photo obtenue est plus grande mais elle va être déformée puisque lerapport entre les deux dimensions du rectangle n’est pas conservé : 46 n’est pas égal à 911En géométrie, « agrandir », ce n’est pas « ajouter ». « Agrandir » impose de respecter les formes et donc lesproportions entre les longueurs des éléments composant la figure initiale et la figure agrandie.Le second raisonnement est correct et se base sur l’utilisation des propriétés de linéarité.On aurait pu utiliser le produit en croix pour trouver la longueur de l’agrandissement ou encore le coefficient deproportionnalité 49 .On pourrait aussi utiliser les raisonnements suivants :Construire un rectangle ABCD de dimensions 4 cm et 6 cm. Puis, placer le point A’ sur la demi-droite [DA) situé à9 cm du point D. On trace la droite parallèle à (AB) passant par A’. Elle coupe (DB) en B’. On trace la droiteparallèle à (AD) passant par B’. Elle coupe la droite (DC) en C’.D’après le théorème de Thalès appliqué aux triangles DAB et DA’B’ :DA' A' B'=DA ABDA' 9Comme = , on en déduit queDA 4A' B'AB9=4et comme AB = 6 cm, A’B’ =9x6cm = 13,5 cm4A’B’ABDCExercice 61. Carte à l’échelle 1/25 000 : 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité soit 250 m.Carte à l’échelle 1/100 000 : 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité soit 1000 m.C’est donc sur la carte à l’échelle 1/25 000 que l’on aura plus de détail.2. 30 cm sur une carte à l’échelle 1/25 000 représentent une distance 30 fois plus grande que 1 cm soit 30x250 msoit 7 500 m = 7,5 km. La promenade fera 7,5 km.C’Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20103

3. Pour passer d’une carte au 1/25 000 à une carte au 1/40 000, il suffit de multiplier toutes les distances par 35/8.En effet, 1 cm sur la première carte représente 25 000 cm sur le terrain, et 25 000 cm sur le terrain sontreprésentés par 25 000 / 40 000 soit 5/8 de cm sur la seconde carte. 7 cm sur la première carte correspondra doncà 35/8 cm sur la seconde carte.Exercice 71. La vitesse en cm/s est la distance parcourue en cm en 1 seconde.2,8 : 7 = 0,4. Cet escargot avance à une vitesse de 0,4 cm/s.2. En une heure la balle parcourrait 249 400 m (1h = 3 600 s)3600x23,77t = = 0, 343 . La balle met environ 34 centièmes de seconde249400distance (en m)temps (en s)249 4003 60023,77t= 0,8 = 1-0,2 = 1- 20100 , il doit donc diminuer de 20%.3. 4 minutes représentent 240 secondes et 13 850 hL représentent 1 385 m 3 . (1L = 1dm 3 donc 1 000L = 1m 3 )1385 : 240 ≈ 5,77. Le débit de ce geyser est d’environ 5,77 m 3 /s.Exercice 81. Le nombre g de garçons est la somme du nombre des garçons demi-pensionnaires et du nombre des garçonsexternes. Soit :g = 78 + 35100 x g soit (1- 35100 ) x g = 7865100x g = 78 soit g = 78 x = 120.100 65Il y a 120 garçons dans l’établissement.2. Il y a (120 – 78 = 42) garçons externesIl y a (260 – 120 = 140) filles45Il y a 45% de filles externes soit x 140 = 63 filles externes100Il y a donc 140-63 = 77 filles demi-pensionnaires.Nombre de garçons Nombre de filles TotalNombre de demi-pensionnaires 78 77 155Nombre d’externes 42 63 105Total 120 140 2603. a) Le nombre d’externes est 105. Le nombre total d’élèves est 260. Ce nombre correspond à 100%.Le pourcentage d’élèves externes est donc égal à105 x 100 ≈ 40260Arrondi à l’unité près, le pourcentage des externes est 40%.b) Le nombre de garçons externes est 42 pour 260 élèves.42Le pourcentage de garçons externes est donc égal à x 100 ≈16.260Arrondi à l’unité près, le pourcentage des garçons externes est 16%.c) Le nombre d’élèves qui sont des garçons ou des externes est égal à (78 + 42 + 63 = 183).183Le pourcentage de ces élèves est égal à x 100 ≈ 70.260Arrondi à l’unité près, le pourcentage des élèves qui sont des garçons ou des externes est 70%.Exercice 91. Soit P le prix de l’article avant augmentation. Après augmentation de 25%, il devient 1,25 x P.Pour qu’il redevienne P, il faut diviser le prix augmenté par 1,25 = 125100100soit donc le multiplier par100125. Comme125Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20104

2. Soit P le prix de l’article avant diminution. Après diminution de 25%, il devient 0,75x P. Pour qu’il redevienne P, ilfaut le diviser par 0,75= 3 4 soit le multiplier par 4 3 ce qui correspond à une augmentation de 1 3d’environ 33,3%.Exercice 101. Jean devait verser 60 000 €. Après la remise de 20%, il ne verse plus que :60 000 € - 60 000 € x 20 = 60 000 € x 0,8 = 48 000 €.100Pascal devait verser 43 200 € . Après la remise de 20%, il ne verse plus que :48 000 € - 48 000 € x 20 = 48 000 € x 0,8 = 34 560 €.100Sandrine devait verser 46 800 €. Après la remise de 20%, il ne verse plus que :46 800 € - 46 800 €x 20 = 46 800 € x 0,8 = 37 440 €.1002. Le prix du bateau est égal à 48 000 € + 34 560 € + 37 440 € = 120 000 €48000 6 2La part que doit payer Jean est égale à = = .120000 15 5Sa contribution au gardiennage est donc de 5000 € × 52 = 2000 €.soit en pourcentageLa part que doit payer Pascal est égale à34560 3456 144 = = .120000 12000 500144Sa contribution au gardiennage est donc de 5000 € × = 1440 € .50037440 3744 156La part que doit payer Sandrine est donc de = = .120000 12000 500156Sa contribution au gardiennage est donc de 5000 € × = 1560 €.500Exercice 111. Soit y le montant de l’achat du lot d’ordinateurs :Le reste s’écrit alors y – ( 3y + 4y )Le bénéfice résultant des ventes peut s’écrire alors de la façon suivante :y 20 y 16 y y 7x + x - [y – ( + )] x3 100 4 100 3 4 100Ce qui fait :20 16 5y7 80 48 35 93 y + y - x = y + y - y = y300 400 12 100 1200 1200 1200 120093 93 1 1Or = x = 7, 75 x 1200 12 100 100Ce qui permet d’écrire que le bénéfice, en pourcentage, du montant de l’achat est 7,75 % (de y)2. Ce bénéfice est de 2976 €.Le montant de l’achat du lot d’ordinateurs y peut alors se calculer :932976 = y 12002976 x 1200 = 93 yD’où y = 38400 €.Le montant des achats était de 38 400 €Exercice 12501. Dominique gagne 50% de plus que Claude, ce qui se traduit par : x = y + y = 1, 5 y.10012,5Le salaire de Claude a été augmenté de 12,5 %, il devient donc y + y = 1,125 y100Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20105

50Le salaire de Dominique a été augmenté de 5%, il devient donc x + x = 1,05 x.100Le salaire initial de Claude était de 1800 €. Il devient 1,125 x 1800 €.soit 2025 €.Le salaire initial de Dominique était de 1,5 x 1800 €, soit 2700 €.Son nouveau salaire est donc de 1,05 x 2700 €soit 2835 €.Le nouveau revenu mensuel du couple est de 2025 € + 2835 € = 4860 €.2. Le nouveau revenu mensuel du couple est 1,05x + 1,125 y = 1,05 x 1,5 y + 1,125y = 1,575y + 1,125y = 2,7y3. Le revenu mensuel du couple avant augmentation est de 1800 € + 2700 € = 4500 €.Après augmentation il est de 4860 €.L’augmentation de salaire est donc de 360 €.360 8En proportion du salaire initial, elle représente : = soit 8%.4500 1004. Si on considère que Dominique gagne toujours 50% de plus que Claude, soit que x = 1,5y, le revenu du coupleavant augmentation est x + y = 2,5y.Après augmentation, il est de 2,7y.Calculons le rapport entre le revenu après augmentation et le revenu avant augmentation :Ce rapport est indépendant de y et correspond à une augmentation de 8% du revenu initial.2,7y=2,5y2 ,7 =1,08.2,5Exercice 131) Soient M, T, et S les valeurs respectives de la maison, du terrain et de la somme d’argent.La valeur du terrain représente 80% de celle de la maison : T=0,8MA eux deux, le terrain et la maison représentent une fois et demie la somme d’argent en dépôt à la banque :M + T = 1,5SEt M + T + S = 210 000.⎧T = 0,8MOn doit donc résoudre le système suivant : ⎨ M +T = 1,5S⎩ M + S + T = 210000T = 0,8M0,8M + M = 1,5SM + T + S = 210000soitT = 0,8M1,8M = 1,5S soitM + T + S = 210000T = 0,8M1,8M = S1,51,8M + 0,8M + M = 2100001,5doncT = 0,8M6M = S54M + M +56M = 2100005d’oùT = 0,8M6M = S53M = 210000d’oùT = 0,8MM + T = 1,5SM = 70000et enfinT = 56000S = 84000M = 700002) Un testament stipule que cet héritage doit être entièrement réparti entre trois personnes A, B et C, proportionnellementau nombre de parts qui leur sont respectivement attribuées : 28 ; 24 et 18.Soient A, B, et C les parts de chacun :Donc en tenant compte de la linéarité additive de la proportionnalité, on peut écrire :A B C A + B + C= = = or A + B + C =210 00028 24 18 70Donc A=210000x28=84 000 ; B =70210000x2472 000 ; C=70210000x18=54 000703) puisque :T = 56000S = 84000M = 70000,Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20106

Synthèse des connaissances sur la proportionnalitéA) Quelques définitions :Le terme proportion désigne un concept mathématique qui appartient à l’héritage grec. Une proportion estl’égalité de deux rapports entre des grandeurs homogènes. Une proportion est donc constituée de quatre termes :a, b, c, d tels que a = c ; b et c sont les moyens termes ; a et d sont les termes extrêmes.b dLe théorème le plus connu à propos de proportion peut s’exprimer ainsi :dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.si a = c alors ad = bcb dPour démontrer ce théorème, il suffit de réduire au même dénominateur bd les deux rapports.- Transformations d’une proportion(1)a c =b d⇔a + b c + d=b d(2)a c =b d⇔a c a + c = =b d b + dDémonstration de (1) : a = cb d⇔ ad = bc ⇔ ad + bd = bd + bcd (a + b) = b (b + c) ⇔a + b d + c=b dDémonstration de (2) : ba = dc⇔a b=c d⇔a + c b + d=c d⇔a + c c=b + d d- Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, si l’une devient 2, 3, 4, … fois plus grande ou plus petite, l’autredevient 2, 3, 4, … fois plus grande ou plus petite.- Deux suites de nombres (a, b, c, d, …, n) et (a’, b’, c’, d’, …, n’) sont proportionnelles s’il existe un nombre k telque :a c na’ = k.a ; b’ = k.b ; c’ = k.c ; … , n’ = k.n, autrement dit si = = = ..... = = ka' bb' c' n'k est appelé coefficient de proportionnalité : k peut être un nombre entier, décimal, rationnel ou réelAutrement dit, il existe une fonction linéaire f(x) = k.x telle que la deuxième suite soit l’image de la première suitepar cette fonction. Dans un système d’axes gradués régulièrement à partir de 0, l’ensemble des points dont lescoordonnées sont les couples (a, a’), (b, b’)....(n,n’) appartiennent à une droite passant par l’origine. Le nombre kest la pente de la droite.- Lorsque deux suites sont proportionnelles, si les nombres de la première suite augmentent régulièrement de a,les nombres correspondants de la seconde suite augmentent régulièrement de k.a, k étant le coefficient deproportionnalité.Propriétés de linéaritéSoit une fonction de la forme x ------> f(x) = k x définie dans l’ensemble des nombres réels R.pour tout a et b de R : f( a + b) = f(a) + f(b): f( p x .a) = p x f(a)Si deux suites de nombres (a, b, c, d, …, n) et (a’, b’, c’, d’, …, n’) sont proportionnelles, si a + b = c, alors a’ + b’ =c’ et si a = q x d alors a’ = q x d’.Ces propriétés de linéarité sont caractéristiques de la proportionnalité autrement dit deux suites de nombres quivérifient ces propriétés pour tous les nombres sont deux suites proportionnelles.Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20108

B) Les différents problèmes qui relèvent de la proportionnalité et les procédures qu’il est possibled’utiliser pour les résoudrea) Les problèmes qui relèvent de la recherche d’une quatrième proportionnelleDans ce type de problème, trois nombres sont connus et il s’agit de déterminer le quatrième :Dans le cas où aucun des trois nombres n’est égal à 1, on a affaire à des problèmes de proportionnalité simple :Ex : 4 calendriers coûtent 10 euros. Combien coûtent 14 calendriers ?Pour faire un mélange de café, il faut mettre 8 kg de Robusta avec 24 kg d’Arabica. Quelle quantitéd’Arabica faut-il mettre avec 32 kg de Robusta ?Pour résoudre ces problèmes de proportionnalité, plusieurs procédures sont possibles :- L’utilisation des propriétés de linéarité :On met en évidence les relations qui lient les informations concernant la même grandeur et on les transpose surles informations correspondantes de l’autre grandeur.4 calendriers coûtent 10 euros2 calendriers coûtent 2 fois moins : 5euros14 calendriers coûtent 7 fois plus : 35 eurosou4 calendriers coûtent 10 euros2 calendriers coûtent 2 fois moins : 5 euros10 calendriers coûtent 5 fois plus : 25 euros14 calendriers coûtent comme 10 calendriers plus 4 calendriers25 euros + 10 euros = 35 euros.Parmi ce type de procédure, on peut isoler celle qui utilise le passage à l’unité :4 calendriers coûtent 10 euros, donc un calendrier coûte 4 fois moins : 10 euros / 4 = 2,5 euros et 14 calendrierscoûtent 14 fois plus : 14 x 10 euros/4 = 35 euros. On retrouve alors la fameuse règle de trois.- L’utilisation du coefficient de proportionnalitéOn met en évidence la relation qui permet de passer d’une grandeur à l’autre :Nombre de calendriersPrix des calendriers en euro4 10x 2,514 ?Le coefficient de proportionnalité est 2,5. Dans le cas du problème des calendriers, il est dimensionné : 2,5 euros /calendrier.Dans le cas du problème du mélange de café les deux grandeurs en jeu sont de même nature et de ce fait, lecoefficient est plus facile à expliciter : le mélange contient 3 fois plus d’Arabica que de Robusta. Dans ce cas pour32kg de Robusta, il faudra mettre trois fois plus d’Arabica soit :3 x 32 kg = 96 kg.Remarque : les procédures de résolution dépendent des nombres et des grandeurs en jeuEx1 : Pour faire un mélange de café, il faut mettre 8 kg de Robusta avec 13 kg d’Arabica. Quelle quantitéd’Arabica faut-il mettre avec 32 kg de Robusta ?La relation entre 8 et 32 est simple à mettre en évidence et dans ce cas, on utilisera les propriétés de linéarité : unmélange qui contient 4 fois plus de Robusta doit contenir 4 fois plus d’Arabica.Ex2 : Pour faire un mélange de café, il faut mettre 19 kg de Robusta avec 57 kg d’Arabica. Quelle quantitéd’Arabica faut-il mettre avec 24 kg de Robusta ?Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 20109

Cette fois c’est la relation entre 19 et 57 qui est facile à mettre en évidence (57 = 3x19) et on utilisera le coefficientde proportionnalité : le mélange de café contient 3 fois plus d’Arabica que de Robusta.Ex3 : Une barre de métal de 8 mètre pèse 24 kg. Combien pèsera une barre identique de 32 mètres ?Pour résoudre ce problème, bien que la relation entre 8 et 24 soit simple à mettre en évidence, il est plus difficilede la mettre en mots pace que ce sont des mesures de grandeurs différentes. Il est plus facile de mettre en mots larelation entre 8 et 32 qui sont des mesures d’une même grandeur : une barre 4 fois plus longue pèse 4 fois pluslourd.- L’utilisation de raisonnements basés sur les égalités de rapports :L’égalité entre rapports des informations concernant les mêmes grandeurs :Ex pour le problème des calendriers : 14 4 = ?10L’égalité entre rapports des informations concernant les deux grandeurs en jeu :Ex pour le problème des calendriers : 10 4 = ?14On retrouve ici les procédures s’appuyant sur le fameux produit en croix.b) Les problèmes dans lesquels plusieurs nombres apparaissent :Ex : 10 cahiers coûtent 8 euros. Combien coûtent 20 cahiers, 25 cahiers, 50 cahiers, 75 cahiers ? 150 cahiers ?Pour résoudre ce type de problème ,on peut utiliser l’un des les deux types de procédure précédente, mais aussiune représentation graphique qui s’appuie sur le fait, que dans les situations de proportionnalité, les pointsreprésentant les couples de nombres associés sont alignés avec l’origine. Ce type de procédure n’est pas pertinentdans la résolution des problèmes précédents dans la mesure où seulement 4 nombres sont en jeu.c) Les problèmes de comparaisonDeux grandeurs sont en présence mais impliquées dans deux situations. On a quatre données, deux pour chaquesituation. La question porte sur la comparaison des deux situations.Ex1 : Dans un récipient A, on a mis 4 verres de lait et 2 cuillères de chocolat.Dans un récipient B, on a mis 12 verres de lait et 4 cuillères de chocolat.Quel est le récipient qui contient le mélange le plus chocolaté ?Pour résoudre ce problème, il est possible :• de s’appuyer sur le fait que dans le mélange A, la relation qui lie le nombre de verres de lait et le nombrede cuillers de chocolat est simple à mettre en évidence : le nombre de verres de lait est le double dunombre de cuillers de chocolat. Si cette proportion était la même pour le mélange B, il faudrait 6 cuillers dechocolat. Il y en a plus et on en déduit donc que le mélange B est moins chocolaté.• de s’appuyer sur le fait que dans le mélange B, la quantité de lait est trois fois plus grande que dans lemélange A et que la quantité de chocolat est seulement 2 fois plus grande que dans le mélange A. Lemélange B est donc moins chocolaté.• de ramener hypothétiquement les deux mélanges à la même contenance et de comparer la quantité dechocolat correspondante : si on met 12 verres de lait dans la bouteille A, il faut mettre 6 cuillères ;4 12• de comparer les rapports de comparer les rapports et . 2 4d) Des problèmes de proportionnalité double :Ce sont des problèmes dans lesquels une grandeur varie proportionnellement à deux variables indépendantes.Ex : 4 boulangers font 4 pains en 4 minutes. Combien de pains font 12 boulangers en 12 minutes ?On traite le problème en fixant une donnée et en travaillant sur les deux autres, puis on continue en faisant varierla troisième donnée.e) Les problèmes de proportionnalité composée :Ce sont des problèmes dans lesquels une grandeur varie proportionnellement à une grandeur qui elle même varieproportionnellement à une troisième :Ex : Avec 100 kg de blé, on obtient 75 kg de farine. Avec 25 kg de farine, on obtient 30 kg de pain. Quelle est lamasse nécessaire de blé pour obtenir 450 kg de pain ?Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 201010

Pour le résoudre, on traite alors successivement deux problèmes de proportionnalité.d) Les problèmes de pourcentage et d’échelleLes problèmes de pourcentage, d’échelle, sont des problèmes qui relèvent de la proportionnalité.Dans les problèmes de pourcentage, une des valeurs de la proportion est égale à 100.Les problèmes de pourcentage sont de deux types :- les problèmes de comparaison : par exemple, pour comparer la répartition filles/garçons dans deux classesdont le nombre d’élèves est différent, on se rapporte conventionnellement un nombre d’élèves communpour les deux classes : 100.- les problèmes d’augmentation ou de réduction.La notion d’échelle exprime la relation de proportionnalité entre des distances repérées sur une carte et desdistances réelles.Exemple : 1 cm sur la carte représente 2 km, soit 200 000 cm, dans la réalité. On dit que l’échelle est au 1/200000. Elle exprime le taux de réduction entre l’espace réel et l’espace de la représentation.Pour trouver la distance réelle entre deux villes A et B dont la distance sur la carte est 12 cm, on peut faire leschéma suivant :Distance sur la cartedistance dans la réalité1 cm 200 00012 cm ?200 000 est le coefficient de proportionnalité. Pour obtenir la distance réelle entre A et B, on multiplie 12 cm par200 000.En géométrie, le théorème de Thalès exprime les relations de proportionnalité existant entre les longueurs deséléments d’une figure et celles de son image dans un agrandissement ou une réduction. Les problèmesd’agrandissement de réduction dans le cadre de la géométrie relève donc de la proportionnalité.Muriel Fénichel et Marie-Sophie MazollierSeptembre 201011