Champs aléatoires de Markov couples et segmentation des images ...

En pratique, les variables aléatoires (Y s) ne sont pas, engénéral, indépendantes conditionnellement à X . L'égalité(2) est en particulier trop simpliste pour représenter laprésence de deux classes texturées et on est amené àconsidérer, si l'on souhaite modéliser les deux texturespar deux champs markoviens gaussiens, la définitiondonnée par (4) :P[Y = y X = x] =⎢λ (x)e −⎣⎡∑ a x s x ty s y t − 1 2 ⎤∑ [a xs x(s,t) voisins 2 sy s +b xs y s ] ⎥s⎦Le champ Y est ainsi markovien conditionnellement àX . La difficulté réside dans le fait que le produit de (1)par (4) n'est pas, dans le cas général, une loimarkovienne. En effet, si Γ(x) est la matrice decovariance de la loi gaussienne de Y = (Y s) s∈S(conditionnelle à X = x ), nous avons(4)simulations de X selon sa loi a posteriori, ce qui permetl'application des méthodes Bayésiennes comme MPM ouMAP.Notons qu'il se pose le problème, que nous n'aborderonspas dans cet article, de l'existence de la loi définie par (6).En effet, cette loi n'existe pas nécessairement pour toutesles fonctions ϕ 1, ϕ 2, a xs x t, a xs x s, b xs. Il existecependant des conditions d'existence, portant surl'énergie, des champs markoviens gaussiens nonstationnaires [Guy93]. Le champ Y étant gaussienconditionnellement à X , une des possibilités de montrerl'existence de la loi définie par (6) pourrait être demontrer que sa loi conditionnelle à X = x existe pourtout x .Le couple (X,Y) étant markovien, il est possible decalculer les lois des (X s,Y s) conditionnellement auvoisinage. Explicitons, à titre d'exemple, le calcul de laloi de (X s,Y s) conditionnelle aux observations faites surson voisinage composé des quatre plus proches voisinsλ (x) =1(2π) N det(Γ(x))(5)[(X t1,Y t1),(X t2,Y t2),(X t3,Y t3),(X t4,Y t4)] =[(x t1, y t1),(x t2, y t2),(x t3, y t3),(x t4, y t4)](7)qui ne peut pas être écrit, dans le général, comme unedistribution markovienne en x .Finalement, X est markovien, Y est markovienconditionnellement à X , mais ni (X,Y), ni Xconditionnellement à Y , ne sont markoviens dans le casgénéral. Cette absence de markovianité de la loi aposteriori rend difficile l'application rigoureuse desméthodes de segmentation comme MPM ou MAP;cependant, ce problème peut être traité par desapproximations du modèle, comme dans [KDH88,WoD92].2.2 Cas simple de Champ de MarkovCoupleUne autre possibilité, que nous proposons dans cetravail, consiste à considérer directement le couple(X,Y) comme markovien. Plus précisément, on poseP[X = x,Y = y] =⎡λe − ϕ[( x s , y s ),( x t , y t )]⎤⎢ ∑ −∑ ϕ*[( x s , y s )] ⎥⎣ (s,t) voisinss⎦ =(6)L'écriture explicite de ces lois permettra leur simulation,ce qui rendra possible la simulation des réalisations de(X,Y) par l'échantillonneur de Gibbs. Montrons quecette loi est de la forme (qui dépend également de(x t1, y t1), (x t2, y t2), (x t2, y t2), et (x t4, y t4);dépendance que nous omettons afin de simplifierl'écriture) :h(x s, y s) = p(x s) f xs(y s) (8)où p est une probabilité sur l'ensemble des classes et,pour chaque classe x s, f xsest la densité gaussiennecorrespondante à x s. L'écriture (8) permettra alors dessimulations aisées des réalisations de (X s,Y s) : onpourra simuler d'abord x sselon la probabilité p, etsimuler ensuite y sselon la densité f xs.Nous avons les égalités (9) suivantes :2∑ − ∑ [ϕ 2 ( x s )+a xs x sy s +b xs y s ]s= λe − [ϕ 1 ( x s , x t )+a x s x ty s y t ](s,t) voisinsLa markovianité du couple (X,Y) implique lamarkovianité de Y conditionnellement à X , et lamarkovianité de X conditionnellement à Y . Lapremière propriété permet de modéliser les textures,comme dans (4), et la deuxième rend possible les