Champs alÃ©atoires de Markov couples et segmentation des images ...

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Tous les autres paramètres égaux par ailleurs, on peutainsi utiliser (18) pour augmenter ou diminuer le bruit.À titre d'exemple, en gardant les variances constantes, onaugmente le bruit en rapprochant les moyennes. Notonsqu'il n'existe pas de lien simple entre les corrélations etles fonctions figurant dans (16). Les corrélations figurantdans le tableau Tab.1, qui montrent qu'il est possibled'obtenir diverses valeurs donnant des texturesvisuellement différentes, sont des estimées.Les valeurs des moyennes montrent que les bruitagessont relativement élevés, particulièrement dans les cas 2(Image 5) et 3 (Image 8), ce qui est confirmévisuellement. En effet, il est difficile de distinguer lesclasses à partir de l'image bruitée. Remarquons cependantque le cas 1 (Images 1, 2, 3), qui semble visuellementmoins bruité (les moyennes sont également les pluséloignées), est celui qui donne le taux d'erreur de lasegmentation par le MPM le plus élevé. Ce fait confirmel'influence de la loi a priori et des corrélations du bruitsur l'importance, du moins en ce qui concerne la fonctionde perte de la méthode Bayésienne MPM, de ce dernier.Image 1 Image 2 Image 3Image 4 Image 5 Image 6Image 7 Image 8 Image 9Fig. 1. Trois réalisations des champs de Markov couples : (Image 1, Image 2), (Image 4, Image 5), (Image 7, Image 8), etles segmentations par le MPM correspondantes.
Images 1, 2, 3 Images 4, 5, 6 Images 7, 8, 9α xs1 1 1β xs−2m xs−2m xs−2m xsγ xs x t2m xs2m xs2m xsa xs x t− 0,5 − 0,1 − 0,3b xs x t0,5m xt− 0,1m xt− 0,3m xtc xs x t0,5m xs− 0,1m xs− 0,3m xsd xs x t−0,5m xsm xt+ −0,1m xsm xt+ −0,1m xsm xt+ϕ(x s, x t)ϕ(x s, x t)m 11 1 1m 21,7 1,5 1,52σ 11 1 11,5ϕ(x s, x t)2σ 21 1 1ρ 110,65 0,05 0,18ρ 220,67 0,07 0,17τ 18,0% 07,9% 11,7%Nb 30 × 30 30 × 30 30 × 30Tab.1α xs, ... , d xs x t: les fonctions potentiels dans (16), lafonction ϕ étant définie par ϕ(x s, x t) = −1 six s= x tet ϕ(x s, x t) = 1 si x s≠ x t. m 1, m 2, σ 1 2 ,σ 2 2 : les moyennes et les variances dans (17). ρ 11, ρ 22: les covariances inter-classe estimées (pixels voisins). τ: les taux d'erreur des segmentations par le MPM. Nb :nombre d'itérations dans le MPM (lois marginalesestimées à partir de 30 réalisations, chaque réalisationétant obtenue après 30 itérations de l'échantillonneur deGibbs).4 ConclusionsNous avons proposé dans cet article une modélisationoriginale par champs de Markov, pouvant être utiliséedans des problèmes d'estimation des champs aléatoiresinobservables. Dans le cadre des traitements d'imagescette modélisation permet, en particulier, d'effectuer dessegmentations statistiques d'images texturées et bruitéespar du bruit corrélé. Contrairement au modèlehiérarchique de Derin et al., le modèle proposé permetd'appliquer les méthodes Bayésiennes MPM et MAP sansavoir recours à une quelconque approximation.La principale différence avec les modélisations parchamps de Markov cachés réside dans le fait que la loi apriori du champ aléatoire des classes n'est pasnécessairement une loi de Markov (ainsi le modèle n'estpas un champ de Markov caché car le champ caché n'estpas nécessairement de Markov).Nous avons présenté quelques simulations montrant lespossibilités de synthèse des images de classes texturéesd'une part, et de leur segmentation par la méthodeBayésienne MPM, d'autre part. Les simulations montrentque l'on peut obtenir, dans un cadre des modèlesrelativement simples, aussi bien des différenteshomogénéités des images de classes, que des différentescorrélations du bruit, donnant visuellement des texturesdifférentes. Malgré l'importance visuelle du bruit (ondistingue difficilement les classes dans les imagesbruitées) la segmentation par le MPM donne des résultatsencourageants.L'application du modèle proposé en segmentationd'images texturées et, éventuellement, bruitées par dubruit corrélé, réelles nécessiterait une méthoded'estimation de ses paramètres. La recherche de tellesméthodes constitue une perspective naturelle pour lapoursuite de notre travail.RemerciementsNous remercions Alain Hillion, Directeur Scientifique del'École Nationale Supérieure des Télécommunications deBretagne, pour les nombreuses discussions qui ontfortement contribué à la conception de ce travail.Références[Bes86] J. Besag, On the statistical analysis of dirtypictures, Journal of the Royal Statistical Society, SeriesB, 48, pp. 259-302, 1986.[ChJ93] R. Chellapa, A. Jain Ed., Markov RandomFields, Theory and Application, Academic Press, SanDiego, 1993.[CrJ83] G. R. Cross and A. K. Jain, Markov RandomField Texture Models, IEEE Trans. on PAMI, Vol. 5,No. 1, pp. 25-39, 1983.[DeE87] H. Derin and H. Elliot, Modelling andsegmentation of noisy and textured images using Gibbsrandom fields, IEEE Trans. on PAMI, Vol. 9, No. 1,pp. 39-55, 1987.[GeG84] S. Geman, G. Geman, Stochastic relaxation,Gibbs distributions and the Bayesian restoration ofimages, IEEE Trans. on PAMI, Vol. 6, No. 6, pp. 721-741, 1984.[Guy93] X. Guyon, Champs aléatoires sur un réseau,Collection Techniques Stochastiques, Masson, Paris,1993.
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