Champs aléatoires de Markov couples et segmentation des images ...

2. Dans certains cas particuliers le modèle classique peutprendre en compte une texture ou un bruit corrélé[Guy93]. En particulier, le cas d'un bruit gaussien corréléadditif est traité dans [Lee98].3. L'estimation des paramètres du modèle par champs deMarkov couples pourrait, a priori, être effectuée par desvariantes de la méthodes Estimation ConditionnelleItérative (ICE [Pie92], [Pie94]). En effet, X étantsimulable selon sa loi conditionnelle à Y , il reste àconsidérer un estimateur des paramètres défini à partir de(X,Y). On pourrait alors envisager l'adaptation à(X,Y), dont la structure est relativement inhabituellecar X prend ses valeurs dans un espace discret et Yprend les siennes dans un espace continu, des diversestechniques connues [Guy93], et en particulierl'algorithme du gradient stochastique [You88].2.3 Cas général Champ de Markov CoupleLa généralisation de l'exemple donné par (6) à uneécriture quelconque de l'énergie ne pose pas de problèmemajeur. Soit S l'ensemble des pixels, avecN = Card(S). On considère k classesΩ = {ω 1,...,ω k}, m capteurs (chaqueY s= (Y s 1 ,...,Y s m ) est à valeurs dans R m ), et l'ensemblede cliques défini par un certain système de voisinages. Lechamp aléatoire Z = (Z s) s∈S, avec Z s= (X s,Y s), estun Champs de Markov Couple si sa loi s'écritP[Z = z] = λe∑− ϕ c (z c )c∈C(14)Notons que dans certains cas, comme le cas gaussien, ondoit s'assurer de l'existence de la mesure de probabilitédonnée par (14).En particulier, le cas de trois capteurs peut être utilisépour la segmentation des images couleur.3 Exemples visuelsNous présentons dans ce paragraphe quelques résultats desimulations et de segmentation par la méthode MPM. Ilapparaît que la variation des paramètres d'un champ deMarkov couple simple permet d'obtenir un certainnombre d'images texturées. Nous avons choisi deprésenter des cas relativement "bruités" (on distinguel'image des classes avec quelque difficulté). Nousremarquons que les images des classes ressemblent à desréalisations des champs de Markov, ce qui peutéventuellement signifier que dans les cas simplesprésentés le modèle classique, où le champ des classes estun champ de Markov, n'est pas très "éloigné" du modèlepar champ couple. Nous notons également la possibilitéd'obtenir différents types de textures.Les champs couples présentés sur la Fig.1 sont deschamps de Markov relativement aux quatre plus prochesvoisins et tels que la loi de Y conditionnelle à X estune lei gaussienne. L'écriture de la loi de (X,Y) choisiepour les simulations estP[X = x,Y = y] =∑ − ϕ*[( x s ,s= λe − ϕ[( x s , y s ),( x t , y t )](s,t) voisinsavecϕ[(x s, y s),(x t, y t)] =∑ y s )] (15)12 (a x s x ty sy t+ b xs x ty s+ c xs x ty t+ d xs x t)ϕ *[(x s, y s)] = 1 2 (α x sy s 2 + β xsy s+ γ xs x t)(16)Les coefficients définissant l'énergie donnée par (16) sontprécisés dans le tableau Tab.1. Notons qu'il estintéressant, pour avoir une idée de l'importance du bruit,d'avoir des renseignements sur la loi de Y conditionnelleà X = x . C'est en effet une loi gaussienne et laconnaissance des paramètres comme les moyennes ou lesvariances correspondant aux classes permet d'avoir, enpremière approximation, une idée sur les bruitages. Lesrenseignements sont cependant incomplets car le niveaudu bruit dépend également des corrélations des v. a. (Y s)conditionnellement à X et de la loi de X a priori.Notons qu'un lien simple unit certains coefficients despotentiels donnés par (16) aux moyennes et auxvariances. En effet, en notant Σ xla matrice decovariance de la loi gaussiennes de Y conditionnellementà X = x et en posant Q x= [q x st] s, t∈S= Σ −1 x, nousavons⎡P[Y = y X = x] ∝ exp − (y − m)t Q x(y − m) ⎤⎢⎣ 2⎥⎦(17)En développant (17) et en identifiant avec (16) nousavons en particulierm xs2σ xs= − β x s2α xs(18)= 1α xs