Champs aléatoires de Markov couples et segmentation des images ...

P{(X s,Y s) = (x s, y s)[(X t1,Y t1),...,(X t4,Y t4)] = [(x t1, y t1),...,(x t4, y t4)]}∝ e − ∑ ϕ[( x s , y s ),( x t i, y ti )] −ϕ*[( x s , y s )]i=1,..., 4== e − ∑ [ϕ 1 ( x s , x t i)+a xs x tiy s y ti ] −[ϕ 2 ( x s )+a xs x sy 2 s +b xs y s ]i=1,..., 4=∑ ∑ ]y s −[ϕ 2 ( x s )+a xs x sy 2 s ]= e − ϕ 1 ( x s , x t i)+[b xs + a xs x tiy tii=1,..., 4i=1,..., 4Posons temporairement :∑α = ϕ 2(x s) + ϕ 1(x s, x ti)∑i=1,..., 4β = b xs+ a xs x tiy ti(10)i=1,..., 4δ = a xs x sM xs2σ xs= −1=2a xs x sb xs+ ∑ a xs x tiy tii=1,..., 42a xs x s(12)et par la probabilité p définie sur l'ensemble des classespar :p(x s) ==∑ω ∈Ω∑ ) 2i=1,..., 4(b xs + a xs x tiy ti[ (a xs x s) ] −1 e−ϕ 2 (x s )− ∑ ϕ 1 (x s , x ti )2a xs x s i=1,..., 4∑ ) 2i=1,..., 4(b ω + a ωxti y ti[ (a ωω) ] −1 e−ϕ 2 (ω )− ∑ ϕ 1 (ω , x ti )2a ωω i=1,..., 4La loi de probabilité (9) devient :2exp− [ α + βy s+ δy s ] =⎡(y s+ β ⎤⎢= exp− 2δ )2− ( β ⎥⎢δ −1 2δ )2 δ + α⎥=⎢⎥⎣⎦πδ −1 ⎡exp ( β ⎤δ )2 δ − α⎣⎢⎦⎥⎡−(y1πδ exp s+ β ⎤⎢ 2δ )2 ⎥⎢ −1 ⎢δ −1 ⎥ =⎥⎣⎦πδ −1 ⎡exp ( β ⎤2δ )2 δ − α⎣⎢⎦⎥ f x s(y s)(11)Finalement, les principales différences entre le modèleclassique par Champs de Markov Cachés et celui parChamps de Markov Couples proposé sont les suivantes :(i) La loi de X (sa loi a priori) est une loi deMarkov dans le modèle classique et n'est pasnécessairement une loi de Markov dans le modèleproposé;(ii) La loi de X a posteriori n'est pasnécessairement une loi de Markov dans le modèleclassique et c'est une loi de Markov dans le modèleproposé;(iii) Contrairement au modèle classique, il estpossible, dans le modèle proposé, de simuler lesréalisations de X selon sa loi a posteriori sansapproximations du modèle, ce qui permet l'utilisation desméthodes classiques de segmentation comme MAP[GeG84, Bes86] or MPM [MMP87].où f xsest une densité gaussienne avec la moyenne− β 2δ et la variance 1. Finalement, en tenant compte2δdu (10), la densité h(x s, y s) = p(x s) f xs(y s) figurantdans (8) est donnée par la densité gaussienne f xsdéterminée par sa moyenne M xs2σ xs:et sa variance variancesRemarques1. Le modèle classique par champs de Markov s'appliqueégalement dans le cas des données multicapteur [YaG95].Pour m capteurs les observations sur chaque pixels ∈S sont supposées être une réalisation d'un vecteuraléatoire Y s= Y 1 m[ s,...,Y s ]. On peut également étendrele modèle proposé au cas multicapteur : à titre d'exemple,on remplacerait y sy tet y 2sfigurant dans (6) par des[ ] etfonctions φ 1(y 1 s,..., y m s),(y 1 t,..., y m t)φ 2 [(y 1 s,..., y m s)].