การประมาณคาทางสถิติ (Statistical Estimation) - โรงเรียนนายเรือ

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๑2การประมาณคาทางสถิติ คาอื่น ๆ เชน การประมาณคาความแปรปรวน ( σ ) ก็จะถือวาความแปรปรวนของตัวอยาง (s 2 2) เปนตัวประมาณคาที่ดีของ σ เชนเดียวกัน พิสูจนดังนี้การพิสูจนวา s 2 2เปน unbiased estimator ของ σ จาก2⎡ ( x − x)⎤2 ∑E(s2[ ∑(xi− x)]) = E⎢⎢⎣n −11= E(n-1)=E)1= E( n −1)⎥⎥⎦1(n-122[ ∑xi− 2x∑xi+ ∑x]22[ ∑ xi− 2x(nx)+ nx ]2 2[ ∑ xi− nx ]1= En −1122= E[ ∑ xi] − nE(x)n −121 ⎡2 22 σ ⎤= ⎢n(µ + σ ) − n(µ + ) ⎥n −1⎣n ⎦1 2 2= [ nσ−σ]n −12σ ( n −1)=n −12= σซึ่งหมายความวาทฤษฏีทางสถิติยอมใหมีคาใชคา s 2 2แทนคา σ ได เชนเดียวกับใช x แทนคาของµในที่นี้จะกลาวถึงการประมาณคาเฉลี่ย ของประชากรเดียวหรือกลุมตัวอยาง ๑ กลุมเทานั้นการประมาณคาเฉลี่ย (Estimation for Mean) มี ๒ วิธี๑) การประมาณคาเฉลี่ยแบบจุด (Point Estimation for Mean) ไดแกการประมาณคา µดวยคา ∑ xix = เปนคา คาเดียว มีความเสี่ยงมาก มีโอกาสผิดพลาดสูง เพราะไมมีการกําหนดnชวงเชื่อมั่น ( 1 − α ) หรือ เปนการจํากัดคาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคาไวที่ คา ๐

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๒ดังนั้นคาประมาณของ µ ในการประมาณคาเฉลี่ยแบบจุด คือµ =x =∑nxiโดยไมมีคาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคาเลย๒) การประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation for Mean) ทฤษฏีสถิติไดสรุปประเด็นของการประมาณคาวาขอมูลที่จะนํามาประมาณคาจะตองมีการแจกแจงปกติ (Normal Distribution) หรือการแจกแจงอื่นที่ใกลเคียงแบบปกติ โดยมีการกําหนดระดับความเชื่อมั่น (Confidence Level ; ๑-α )จากระดับนัยสําคัญ (Level of Significant ; α ) ที่ตองการ พรอมทั้งตองเลือกคาสถิติ (Statistic) ที่เหมาะสมโดยมีขอกําหนดดังนี้* กรณีทราบความแปรปรวนของประชากร หรือ ตัวอยางมีขนาดใหญ ( n ≥ 30) ใชสถิติ Z ที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานดังนี้รูปที่ ๑

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๓จากZx− µσ= จะไดnσµ = x + Z αnดังนั้นคาประมาณของ µ ในการประมาณคาเฉลี่ยแบบชวงกรณีนี้ คือ2หรือµ = x + Z α2σnxσ- Z α < µ < x +n2Zα2σnโดยมีคาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคาเทากับ* กรณีไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร และ ตัวอยางมีขนาดเล็ก ( n < 30)ใชคาสถิติ t ที่มีการแจกแจงแบบปกติ (Student – t)Zα2σnรูปที่ ๒2ดังนั้นคาประมาณของ µ ในการประมาณคาเฉลี่ยแบบชวงในกรณีไมทราบคา σ และตัวอยางขนาดเล็ก คือหรือµ = x + tα2sn

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๔xσ- tα< µ < x +n2tα2σnโดยมีคาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคาเทากับซึ่งทั้ง ๒ กรณีนี้หากขอมูลมีการแจกแจงแบบอื่น ๆ ก็สามารถใชการแจกแจงปกติมาประมาณไดเมื่อขนาดตัวอยางมีมากพอ ซึ่งทําใหผูวิจัยตองเก็บขอมูลมากขึ้น จึงจะมีทําใหขอมูลมีจํานวนมาก จึงจะมีการแจกแจงใกลเคียงกับแบบปกติ ตามทฤษฏีสถิติ Central Limit Theoremอธิบายกรณีทั้ง ๒ ไดวาสมมุติเราทําการศึกษาประชากรกลุมหนึ่ง เราเชื่อวาคาเฉลี่ยของประชากร ( µ ) ตองอยูในชวงที่เราประมาณไวนี้ ประมาณ ๙๕ % หมายความวาการศึกษานี้มีชวงเชื่อมั่น (๑- α )% = ๙๕ % หรือ ระดับนัยสําคัญ α = ๐.๐๕ ดังนั้นสมมุติวาคํานวณรายไดประชาชนภาคตะวันออกเฉียงเหนือจํานวน ๑๐๐ คน ได x = ๓,๐๐๐ บาทตอเดือน จากขอมูลเดิมมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) ของรายไดประชาชนภาคตะวันออกเฉียงเหนือเทากับ ๒,๕๕๑ บาทσเมื่อคํานวณคาคลาดเคลื่อนของการประมาณคา Z จึงไดเทากับ ๕๐๐ บาท จึงไดชวงของการประมาณคาเปน ๒,๕๐๐ และ ๓,๕๐๐ ซึ่งหมายความวา “ กลาวไดวารายไดเฉลี่ยของประชาชนภาคตะวันออกเฉียงเหนืออยูระหวาง ๒,๕๐๐ ถึง ๓,๕๐๐ บาทตอเดือน โดยคํากลาวนี้เชื่อมั่นได ๙๕%”ความสําคัญของขนาดตัวอยางกับการประมาณคาเนื่องจากคาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคา ที่มีคาเทากับα2nt α2Zsnα2σnหรือα2st นี้มีผลตอชวงเชื่อมั่น (1− α ) ดวย เพราะยิ่งตองการใหคํากลาวมีความเชื่อมั่นไดมาก ๆ คาความคลาดเคลื่อนของการประมาณคายิ่งมากขึ้น ตามรูปที่ (๑) และ (๒) ทางสถิติจึงพยายามกําหนดความคลาดเคลื่อนไวกอน และเมื่อประกอบกับชวงเชื่อมั่น (1− α ) ที่ตองการ จึงทําใหตัวที่แปร (vary)ไปมาไดคือขนาดตัวอยาง (n) นั่นเอง จนกลาวกันไวโดยทั่วไปวา การประมาณคาที่ดีตองมาจากขนาดตัวอยางที่เหมาะสม ซึ่งสามารถคํานวณขนาดตัวอยางที่เหมาะสมไดดวยตัวอยางตอไปนี้ตัวอยาง ในการวิจัยเกี่ยวกับรายไดตอเดือนของประชาชนจังหวัดอุตรดิตถโดยใหมีความผิดพลาดไมเกิน ๕๐๐ บาท ดวยความเชื่อมั่น (๙๕% โดยทราบอยูแลวจากขอมูลเกาวาเดิมมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) ของรายไดประชาชน เปน ๒,๐๐๐ บาทใหคาคลาดเคลื่อนของการประมาณคา = ee =Zα2σnn

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๕แทนคา e = ๕๐๐ , Z α= Z = 1. 96 จากตาราง Z และ σ = ๒๐๐๐ เพื่อหาคา n2.025n⎡= ⎢Z⎣α22σ ⎤. ⎥e ⎦⎡ (2000)=⎢1.96⎣ 5002⎤⎥⎦= ๖๑.๕แสดงวาในการวิจัยครั้งนี้หากตองการประมาณคารายไดใหผิดพลาดเพียง ๕๐๐ บาท ดวยความเชื่อมั่น ๙๕% ตองสุมตัวอยางประชากรจํานวน ๖๒ ตัวอยาง จึงจะทําใหการประมาณคาเฉลี่ยของรายไดประชาชนจังหวัดอุตรดิตถ เชื่อถือไดถึง ๙๕ % ตามตองการและถาผูวิจัยตองการใหผิดพลาดนอยที่สุด นั่นคือ e ลดลงจํานวน n ก็จะตองเพิ่มมากขึ้นตามความสัมพันธ⎡n = ⎢Z⎣หรือn⎡= ⎢t⎣α2α2s ⎤. ⎥e⎦22σ ⎤. ⎥e ⎦ตัวอยาง ในการตรวจสอบรอยละของสินคาที่ไดมาตรฐานจะยอมใหผิดพลาดได ๑๐% ที่ระดับความเชื่อมั่น ๙๕% และจากปที่แลวพบวาสินคามีมาตรฐานเพียง ๔๐% ของจํานวนทั้งหมด จงหาจํานวนสินคาที่เหมาะสมในการตรวจครั้งนี้เพื่อใหผลในการตรวจไดมาตรฐานตามตองการให ˆp = รอยละของสินคาที่ไดมาตรฐานจากกลุมตัวอยางที่สุมมาตรวจp = รอยละของสินคาที่ไดมาตรฐานจากประชากรทั้งหมดคาประมาณของ p คือดังนั้นคาความคลาดเคลื่อน e =Zα2pˆ+ Zα2pqnpqn

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๖จะไดZ σ⎡ ⎤n ⎢ 2=⎥⎢. p qe ⎥.⎢⎣⎥⎦2แทนคา p = ๐.๔๐ , q = ๐.๖๐ , Z. 025=๑.๙๖ , e = ๑๐% =๐.๑๐จะได n = ๙๒.๒แสดงวา ในการตรวจครั้งนี้เพื่อใหผลในการตรวจไดมาตรฐานตามตองการตองตรวจเปนจํานวน๙๓ ชิ้นวิธีการหาชวงของการประมาณคาเฉลี่ย(๑) โดยวิธีการคํานวณตัวอยาง ในป พุทธศักราช ๒๕๔๗ สุมนักเรียนเตรียมทหารในสวนของกองทัพเรือ ที่สอบปที่๑ และ ๒ มา ๖๐ นาย ใหทุกคนแสดงหลักฐาน GPA ที่สําเร็จชั้น ม.๔ ไดขอมูลดังนี้๓.๒ ๓.๔๕ ๒.๘๙ ๒.๑๑ ๒.๕๖ ๒.๔๑ ๒.๙๔ ๒.๙๖ ๒ ๒.๔๕ ๒.๘๙ ๒.๘๗๓.๔๖ ๓.๘๗ ๓.๙๕ ๓.๘๗ ๓.๙๖ ๓.๔๕ ๓.๕๗ ๓.๙๒ ๓.๗๕ ๓.๙๘ ๓.๙๖ ๒.๔๕๒.๔๕ ๓.๙๘ ๓.๙๖ ๓.๗ ๓.๑๒ ๒.๕๘ ๓.๔๕ ๓.๒๕ ๓.๑๗ ๒.๑๕ ๒.๖๕ ๓.๔๕๓.๕๙ ๓.๐๑ ๓.๘๙ ๓.๔๘ ๓.๒๖ ๓.๑๕ ๒.๑๔ ๒.๐๑ ๒.๑๕ ๒ ๒.๑ ๒.๐๕๒.๒๖ ๒.๕๖ ๒.๓๔ ๒.๔๕ ๒.๐๗ ๓.๒๕ ๓.๔๕ ๒.๘๕ ๒.๑๔ ๓.๔๗ ๓.๕๖ ๓.๔๕หา ∑ xix = = 3.02nหา ∑(xi− x)s = = 0.226nคาประมาณของ µ ในการประมาณคาเฉลี่ยแบบชวงดวยระดับความเชื่อมั่น ๙๐%คือµ = x + tα2snแทนคา x = 3.02 s = 0.226 t. 05= 1.64 n = 60ได µ = (๒.๙๒ , ๓.๐๗ )

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๗หมายความวา ดวยความเชื่อมั่น ๙๐% กลาวไดวาผูจะสอบไดเปน นตท.คาเฉลี่ยของ GPAอยูระหวาง ๒.๙๒ และ ๓.๐๗(๒) โดยการใชคําสั่งของโปรแกรมสําเร็จรูป Microsoft Excelการประมาณคาเฉลี่ยเปนวิธีการทางสถิติที่งาย สามารถใชคําสั่งของโปรแกรมสําเร็จรูปMicrosoft Excel ได ที่ฟงกชัน CONFIDENCE โปรแกรมจะทําการคํานวณการประมาณคาเฉลี่ยแบบชวงใหทันที โดยไมจําเปนตองใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางสถิติ เชน SPSS หรือ Systat ซึ่งมีรูปแบบคําสั่งที่ซับซอน การใชโปรแกรมสําเร็จรูป Microsoft Excel ทําดังนี้(๒.๑) เตรียมขอมูล จากขอมูลตัวอยางเปน GPA. นตท.ทร. ๖๐ นาย เตรียมขอมูลพรอมที่จะวิเคราะหขอมูลไดโดยโปรแกรม Microsoft Excel ซึ่งตองปอนขอมูลใหตรงลักษณะที่จะทําการวิเคราะห คือ• บรรทัดแรกตองเปนชื่อตัวแปร• เริ่มปอนขอมูลในบรรทัดถัดมา คือบรรทัดที่ ๒ เปนขอมูลตัวที่ ๑ จนถึงบรรทัดที่ ๖๑ เปนขอมูลตัวที่ ๖๐ พอดี• หามเวนวรรค หรือเวนบรรทัดระหวางขอมูล ๖๐ ตัว แลวบันทึกไวเปน file ขอมูลของโปรแกรม Excelในที่นี้ให GPA เปนชื่อตัวแปร GPA. ของ นตท.(ทร.) จะไดขอมูลดังนี้๑ GPA๒ ๓.๒๓ ๓.๔๕๔ ๒.๘๙๕ ๒.๑๑ปอนขอมูลตามลําดับจนครบ ๖๐ ตัว๕๖ ๓.๔๕๕๗ ๒.๘๕๕๘ ๒.๑๔๕๙ ๓.๔๗๖๐ ๓.๕๖๖๑ ๓.๔๕

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๕๘(๒.๒) เลือกใชคําสั่งจากเมนู Insertfunction- ใชฟงกชัน AVERAGE โดยพิมพ AVERGE (A2 : A61) หาคา x ได ๓.๐๒- ใชฟงกชัน STDEV โดยพิมพ STDEV (A2 : A61) หาคา sd ได ๐.๖๕๗- ใชฟงกชัน CONFIDENCE ( α , STDEV , n) โดยพิมพ CONFIDENCE(.๐๕,๐.๖๕๗,๖๐)2.3 ผลลัพธจากโปรแกรม Excel เมื่อใชฟงกชัน CONFIDENCE ได ๐.๑๖๖๒.๔ การตีความหมาย หมายถึงการประมาณคา µ จากขอมูลชุดนี้ไดµ = x + ๐.๑๖๖หรือ µ = 3.02 - ๐.๑๖๖ และ ๓.๐๒ + ๐.๑๖๖หรือ µ = ( ๒.๘๖๔ , ๓.๑๘๖ )หรือ คนที่จะสอบไดเขาเปน นตท.(ทร.) ตองมี GPA. ม.๔ อยูระหวางประมาณ ๒.๙ ถึง ๓.๒ดวยความเชื่อมั่น ๙๕%ถึงที่นี้แลว คงทําใหรูวา การประมาณคาที่จะลดลงความผิดพลาดใหมีความเสี่ยงนอยลงได ตองเปน การประมาณคาแบบชวง เทานั้น รวมทั้งกรณีหากผู วิจัยตองการจํากัดขอผิดพลาดใหนอยลงมากๆ ตามที่ผูวิจัยตองการ ควรกําหนด ขนาดของกลุมตัวอยาง ที่เหมาะสมเทาไรจึงจะประมาณคาไดอยางถูกตอง