Resistance des materiaux (SPM2) - IUT Annecy

Structure et Propriétés des Matériaux IIRésistance des MatériauxGénéralités et torseur d’effortsSollicitations simplesSollicitations composéesAutres modes de sollicitationConception industrielleIntroduction à la méthode des éléments finis2010/2011 - IUT Annecy - Mesures Physiques spécialisation Matériaux et Contrôles Physico-chimiques - module SPM2A - Christine Barthod

Généralités &torseur d’efforts2

Hypothèses• Structure : poutre homogène isotropesectionligne moyennerG(s)S(s)L= lieu de tous lescentres de gravité23• Contrainte et déformation :définitions :contrainte = force / surfaceunité : pascal (Pa)déformation = variation de longueur / longueur initialeunité : sans unité (m/m)rappels :• grandeurs physiques ponctuelles• Re limite élastique d’un matériau = contrainte maximalesupportée par le matériau sans déformation irréversible de celui-ci4• Matériau :H : déformationsélastiques contraintes inférieures à la limite élastique Re déformations extrêmement petitesR RR ezoneélastique(allongements négligeables devantles dimensions de l’élément)point de strictionzoneplastiqueL’élément peut être considéré commeindéformable5

• Intérêt de ces hypothèsesObjectif industriellois classiques dela mécaniquegénérale(mécanique MPh1)conditionscomplémentaires dedéformation résultant despropriétés des matériaux(matériaux MPh1)Connaître le niveau de chargement maximalqui existe dans la structure étudiée.permet de déterminer- les efforts intérieurs engendréspar les efforts appliquésEn précisant :Quoi ?Combien ?Où ? Quelle amélioration possible ?-les contraintes et déformations qui en résultent67Comment est conçu un produit ?En pratique, trois cas se présentent :cahier des chargesschéma fonctionnelchargementstructureproblèmeà résoudrecalcul de pré-dimensionnementconnuinconnuedimensionnementavant projetinconnuconnuedétermination desconditions d’utilisationvalidationprojet8connuconnuevérification desconditions d’utilisation9

1) dimensionnement2) détermination des conditions d’utilisation• cahier des charges :Chargement que doit supporter la structureIdée de la géométrie globale de la structureInformations sur le type de matériau à utiliser• cahier des charges :Géométrie exacte de la structureMatériau• objectif :Définir les dimensions de la structureChoisir le matériau qui permet la tenue mécanique de lastructure• objectif :Définir le chargement que peut supporter la structurePréciser le niveau maximal de chargement autoriséPréciser le niveau maximal de chargement autorisé 10113) vérification des conditions d’utilisationDémarche globale• cahier des charges :Chargement que doit supporter la structureGéométrie exacte de la structureMatériau• objectif :Vérifier le niveau maximal de chargement autoriséObjectif :Définir le chargement maximal autorisé Quoi ? (quel type de sollicitation ?) Combien ? (quelle marge de sécurité ?) Où ? (en quel point ? c’est le point critique) Quelle amélioration possible ?1213

Quel type de sollicitation ?Traction / compressionFTorsionCSollicitations élémentaires(mécanique MPh1)FxCisaillementFFFlexionFSollicitations composéesDans une structure réelle, soumise à des chargementsréels, toutes ces sollicitations existent simultanément.Démarche :• On repère tous les efforts extérieurs appliqués• On calcule les sollicitations élémentaires• On les combine pour évaluer le niveau global decontrainte dans la structure (cf chapitre 3)1415Quelle marge de sécurité ?La théorie de l'élasticité classiqueutilise une loi de comportement linéaire.On compare la contrainte maximale existant dans lastructure max à la contrainte admissible par le matériau.Selon les applications, il est R Radmissible ou non d’atteindre :R e• limite élastique Re• limite de rupture Rrzoneélastiquezoneplastique16On définit la limite admissible comme étant la résistanceélastique ou de rupture corrigée d'un coefficient desécurité k dont la valeur est fixée, soit par les normes envigueur, soit par le concepteur lorsque les normes fontdéfaut.Ce coefficient de sécurité k est destiné à prendre encompte un certain nombre d'incertitudes :- sur les caractéristiques du matériau- sur la modélisation du problème- sur le chargement réelOn choisit :limite admissible =Reklimite adm ReM.S. ==max k maxObjectif de conception : MS >117

coupeEn quel point ?Il faut déterminer les efforts intérieurs en chaque point de lastructure pour calculer les contraintes en chaque pointPrincipe de la coupe :transformer les efforts intérieurs en efforts extérieursTorseur d’effortsObjectif : connaitre le point critique• Comprendre la réalité physique• Schématiser le systèmeÉtablir le schéma de calculM structure : poutre = ligne moyenne conditions aux limites (C.L.):forces extérieures = connuesréactions aux appuis = inconnues18Calculer les efforts intérieurs en chaque point19Comprendre la réalité physiqueSchématiser le système1) structure2) C.L. : forces extérieures appliquéesponctuellesourépartiesMforces connues203) C.L. : forces de contacton idéalise les réactions aux appuis et encastrements :forces inconnuesréalitéappuimobileappuifixeencastrementRYRYRYMRXRXschéma1 inconnue2 inconnues3 inconnues21

coupe• Déterminer les efforts intérieursréalitéMréactions aux appuis = inconnuesa) Poser le schéma de calculb) Calculer les réactions extérieures(issues des CL)c) Étudier où sont les changementsde structure ou de chargement?OKF = 0M = 0Étude desdiscontinuitésschémade calculligne moyenneforces extérieures = connues22d) Calculer les éléments deréduction pour chaque coupee) Tracer les diagrammesf) ConclusionPrincipe dela coupePrésentationdes résultats23a) b)c) Étude des discontinuitésd) Principe de la coupe- de structure : modification de la section de la poutreEx 1 :S1 S2 S1- de chargement- Si on retire une partie de la structure :Ex 2 : F 1 F 3F 2xDétermine les portions de la structure d'étude surlesquelles le comportement est constant ou linéaire(ex 1 : 3 ; ex 2 : 2) 2425yx

-calcul des éléments de réductionpour chaque portion- Pour conserver l’équilibre de la structure initiale, on définitun torseur d’efforts qui remplace la partie manquanteN,T,Fz,Mt,Mfz,MfyCe sont les éléments de réduction du torseur au point M.Ces forces et moments sont des forces extérieures à la«nouvelle» structure d’étude.MTMfMtNx• On calcule les efforts extérieurs à chaque structured’étude, N(x),T(x),Mf(x) et Mt(x), en chaque point Md’abscisse x à l’aide de la RFD: F = 0 M = 0• On vérifie les résultats à l’aide de la relationT(x) = - d ( Mf (x)) / dx2627e) Présentation des résultats• On trace les graphes N, T, Mf et Mt en fonction de x,c’est-à-dire donnant les efforts intérieurs existant enchaque point de la poutreNxTMfMtx=0 : début de la poutrexxxx=L : fin de la poutrea) Schéma• exempleExemple sur la première coupef) Conclusion 2829Ab) Effortsextérieursc) Où faire les coupes ?aF2F/3 F/3d) Calcul des éléments de réduction•On coupe avant BA•On conservela partie gaucheBBF2aCxC

calcul…Intérêt de la détermination du torseur d’effortsChaque élément de réductionN(x),T(x), Mf(x), Mt(x) est liéà une sollicitation élémentaire.TMMfNMtxtraction/compressioncisaillementtorsionflexionN effort normalT effort tangentielMt moment de torsionMf moment fléchissant3031

Caractéristiques mécaniques élastiquesOrdres de grandeurMetals and alloysReMPa90-150---120-170--100-23012-1760-80--275-1100------250-300-430-490----321000-1500-GlassesPlasticsAll plastics are viscoelastic and consequently the elasticity varies considerably with temperature and strain rate.The table below gives approximate values at 20°C for slow rates of strain.ReMPa20-30-76-97-62-8382-11755-6521-3569-10450-7630-4034-5210-2055-8033

Sollicitationssimples

Traction & compression : définitionTraction et compression(tension and compression)sollicitation par un effort normalaux sections droites de la poutredans une section droite :N 0 ( effort normal )Nxtous les autres élémentsde réduction sont nuls3ExemplesTraction & compression : contrainte N• Éprouvette de tractionS 0FFdsLdFxF NdFxds• Effet poids propre d’un câblesuspenduL 0LFdef :SNN dFx dFx ds ds Nds4Si N = constante, alors N NS5

Traction & compression : loi expérimentale• tractionFSN>0donc N >0Essai de traction (cf. TP)R eloi de Hooke: N= E N• compressionFSN

Traction & compression : problème typeEffet du poids propreL1) schéma de calcul2) calcul des réactions extérieures3) étude des discontinuités4) calcul des éléments deréduction(vérification T, Mf)5) tracé des diagrammes6) conclusionLDonnées :- Section du câble : S- Masse volumique - Résistance élastique ReHypothèses :- câble suspendu- on ne néglige pas le poidspropre du câble1011calcul…Traction & compression : synthèseSchéma :FFÉlément de réduction associé :effort normal NContrainte : N NSDimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re Ncontrainte constante sur S1213

Cisaillement(shear)Cisaillement : définitionsollicitation par un effort tranchantdans le plan des sections droites de la poutredans une section droite :T 0 (effort tranchant)MTxtous les autres élémentsde réduction sont nuls15• cisaillement pur• poinçonnageExemplesEn général, le cisaillement n'est pas pur.T 0 et Mf 0flexion et cisaillement• rivetagetractioncisaillementdans section oblique1617

Cisaillement : contrainte ccontrainte telle que T dsSHypothèse : constante sur la section T Svaleur moyennede la contrainteEn réalité, la répartition descontraintes sur une sectionest la suivante : T ydsIb( y)b(y)b(y) est la largeur de lasection à la côte yI est le moment quadratiquede la sectionyPeut être très inférieure à la valeur maximaleLa répartition dépend de la forme de la sectionNB : c est une contrainte tangentielle18def : facteur de forme en cisaillement max = moy = T / S19Quelques valeurs de pour desformes de sections simplesCisaillement : loi expérimentalesection circulairepleinetype de section facteur de forme encisaillement4 / 3= déformation dueau cisaillementsection circulairecreuserRsection rectanglebh3 / 2 c limx0xv c dv cdxsection losangerégulière9 / 820x21

Torsion : définitionTorsion(twisting) sollicitation dans le plan de la section tendance à faire tourner l'une par rapportà l'autre deux sections voisines.dans une section droite :Mt 0(moment de torsion)tous les autres élémentsde réduction sont nulsMMtx31ExemplesTorsion : contrainte t• barre de torsionCxHypothèse :sectioncirculaireMtM’M angle de torsionx distance distance à l’axede torsion• arbre de transmission• ressortsmoteurengrenagesarbres entorsioncompresseur32xglissement relatif : MM' ρΔx ΔxΔαγtdéformation due à la torsion: θlim dαΔxΔα dxΔx0 t= t = G t =G ! non constante sur la section33

MtMtx tdSMt = tdS = G dS= G dSOn pose : J 0 = dS moment quadratique polaire(par rapport au point central)Mt = G J 0 t = G NB : t est une contrainte tangentielle tdonc = ρ MttJ034Quelques valeurs de J pour des formesde sections simplessection circulairepleinesection circulairecreusesection rectanglesection losangerégulièretype de sectiondbbJ 0moment quadratique polaire( moment quadratique /point )24 D32bh b rdSS h2 2non utilisable pour calculs de section sollicitées en torsionDhnon utilisable pour calculs de section sollicitées en torsionaD124 D d32a 46435Torsion : loi expérimentaleTorsion : dimensionnementEssai de torsionMt (N.m)Mt = k (pente de la droite)contrainte tangentielleidem cisaillementMt ezoneélastiquezoneplastiquedonc = ρ kθt J0(°.m -1 ) élastique petit : quelques degrés par mètre plastique très grand : 30 à 50 tr/m avant rupture36on doit s’assurerqu’en chaque point de la structurel t l Re’37

Torsion : validité des loisExemples de cas où les lois sont inapplicables :Les lois relatives à la torsionsont considérées comme:- exactes pour les sections circulaires(même creuses)profil en UGT- acceptables si le centre de gravité dela section est confondu avec le centrede torsionaube- fausses si le centre de gravité de lasection n'est pas confondu avec lecentre de torsion très complexe (calcul numérique)38TG39Torsion : problèmes typesArbre cylindrique en torsionDonnées :Mtx- Matériau : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPa- Moment du couple M = 210 NmOn considère une éprouvette cylindrique en cuivre de diamètred = 25 mm et de longueur L = 1 m soumise à un essai de torsion.On donne pour le cuivre : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPaHypothèses :- arbre cylindrique- on néglige le poids propre de l’arbrea) Calculer l’angle de torsion sous un couple Mt = 210 N.mb) Calculer la contrainte maximale de torsion dans l’arbrec) Conclure4041

calcul…Torsion : synthèseSchéma :CÉlément de réduction associé :moment de torsion MtContrainte : t =G ρ MtJDimensionnement :Contrainte tangentielleA comparer à Re’42 tModule de torsion J :Section circulaire pleine :Section circulaire creuse :4 D324 D d32434

Flexion : définitionflexion plane(bending)Les efforts qui s'exercent sur une section droite onttendance à faire tourner la section autour de l'axe z.dans une section droite :Mf 0(moment de flexion)tous les autres élémentsde réduction sont nulszMMfx47• flexion pureFFA B C DBC est enflexion pureExemples d ’applications industrielles• flexion plane simple Mf 0 ;T 0F F’ et N 0• flexion et torsionMf 0 ; T 0et Mt 0FEn général, laflexion n’estpas pure !4849

Flexion : contraintecompression( N < 0 )traction( N > 0 )fibre neutre( N = 0 ) f est unecontrainte normaleyx50Hypothèses : ( BERNOUILLI 1705 )Pendant la déformation, les sections droites- restent planes- restent perpendiculaires aux fibres déforméeszyMfσf(P) Izzy P distance àl ’axe neutrey PPdS fyPxdef:Iz2y dSIz moment quadratique( par rapport à l’axe de flexion Oz)Sy51Quelques valeurs de z pour des formesde sections simplessectioncirculaire pleinesection circulairecreusesectionrectanglesection losangerégulièresectionen Itype de sectiondbDDhahmomentquadratique I/ axe zπD464π D4 d64b h312a 412Sh 224Sy2dS52Flexion : loi expérimentaleEssai de flexion 3 pointshbjauges dedéformationRe• On applique la force sur la pige centrale• On peut donc calculer f• Les jauges mesurent //et f53 n

Relation contrainte - déformationloi de Hookeloi de Poisson = E = - déforméeRef : http://www.si.ens-cachan.frcontraintes normales(traction/compression)vflèche54doncσf(P) ε(P) MfIMfE IzzzzyyPPzyligne neutrePP(x P ,y P )55y PxFlexion : dimensionnementCalcul de la flèche v(x)def. déplacement normal à la ligne neutrecontrainte normaleidem traction/compressionv(x)?en flexionon doit s’assurerqu’en chaque point de la structurel Nl Revflèche au point central5657

y(x)(x+dx)2d vε//(P) yP2dx = E 2d v2dxε y//Pσ// EyPxv(x) v(x+dx)x+dxon admet :xε//dv(x)θ(x) (1)dx2d v(P) y(2)P 2dx58orσf(P)MfIzzPour avoir la flèche v(x),il faut donc intégrer deux foisdeux constantes définiespar les conditions aux limitesyPdonc2d v2dxRAPPEL :MfEIéquation de la déforméezzun appui en x 0 v(x0)= 0un encastrement v(x0) = 0en x0 dv(x0)/dx = 059Considérations pratiques de dimensionnementen flexioncontrainteflècheMfσf(P) I2d v2dxzMfEIzzzyPLa contrainte et la flèche dansune section de poutre sontinversement proportionnellesau moment quadratique I ZFlexion : validité des loisConditions d’application de la théorie :équilibre du systèmeDhhπDI 644b hI 12ShI 232La hauteur d’une poutre abeaucoup plus d’importanceque sa largeur d’un point devue des flexions simpleslois applicables tant qu’on restedans le domaine élastique6061

Flexion : problème typeexemple : calcul de la flècheF a b a FA B C DBC en flexion pureDonnéesDimensions : réglet de 50 cma= 10 cmb= 30 cmsection: largeur 1cm, épaisseur 2 mmForces appliquées : F= 10 NCalcul de la contrainte de flexion maximaleet de la flècheen tout point de la poutre ADCaractéristiques matériauacier : E = 200 GPaRe= 240 MPa6263Démarche :on utilise la relation de la déformée :2d v Mf2dx EIdonc :pour calculer la flèche v(x) en tout point d ’abscisse x, ilfaut connaître le moment fléchissant en tout point Mf(x)c’est-à-dire déterminer l’élément de réduction MfzzCalcul des réactions et des éléments de réduction :Réactions :R B = R C = FFA B C DEléments de réduction T et Mfdiscontinuité d’efforts en B, C et D3 coupes et 3 torseurs d’efforts : sur [AB], [BC], [CD]FSur [AB], càd pour 0

Diagrammes des éléments de réduction :Calcul de la contrainte de flexion maximale :FFA B C DTxCalcul de la flèche en tout point :Mf-Fa-Fax6667CalculsousExcelcontrainte max3,00E+08x v(x)a 1,00E-01 0 8,75E-03b 3,00E-01 0,025 6,86E-03F 1,00E+01 0,05 4,84E-03E 2,00E+11 0,075 2,60E-03largeur 1,00E-02 0,1 0,00E+00épaisseur 2,00E-03 0,1 0,00E+00I 6,67E-12 0,175 -6,33E-030,25 -8,44E-030,325 -6,33E-030,4 0,00E+000,4 0,00E+000,425 2,60E-030,45 4,84E-030,475 6,86E-030,5 8,75E-03v(x) (m)flèche sur ADV1(x)V2(x)V3(x)1,E-028,E-036,E-034,E-032,E-030,E+00-2,E-03 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5-4,E-03-6,E-03-8,E-03-1,E-02x (m)v(x)68Flexion : synthèseSchéma :FContrainte :Mfσf(P) IzzyP f < 0 f = 0 f > 0Élément de réduction associé :moment fléchissant MfDimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re MfMoment quadratique I Z :b h3Section rectangulaire :Section circulaire creuse : 12π D4 d64694

• application à quelques cas connus• traction compression pure• cisaillement pur FFxx VM x VM x VM 3 XY VM 3 XYcritère de limite élastique : VM Re x Recritère de limite élastique : VM Re XY Re / 31415Soll. composées : problèmes types• visseuseOn utilise une visseuse qui appliqueun couple de 2 Nm pour visser unevis de 4 mm de diamètre.Le matériau de la vis a une limiteélastique Re= 300 MPa.Lors du vissage, on applique en plusun effort axial de 400 N sur la vis.• étagèreAaB• On veut choisir le matériau pour construire une étagèreappuyée à ses deux extrémités. A un tiers de la longueur, onprévoit de poser un objet dont la masse crée une forceponctuelle F égale à 150 N.• On donne L = 120 cm, e = 8 mm, b = 10 cm.• Calculer la contrainte maximale de Von Misès dans l’étagère etconclure quant au matériau à choisir.F2aCCalculer la contrainte de Von Misès dans la vis et conclurequant à sa résistance mécanique.(cf. chapitre 1 poutre sur deux appuis)1) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente161) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente4) Choix du matériau17

Autres modesde sollicitations

Flambage : définitionFlambage(buckling)Il y a flambagequandsous l’action d’un effort axialde compression importantune poutre rectilignede grande longueur fléchit.2compression axialeimportantePoutre rectilignede grande longueur(une dimension 10x plusgrande que les 2 autres)3Flambage : théorie d’EulerF F c5• état instable• se produitlorsque la chargeatteint unevaleur critiquehypothèses• poutre rectiligne•chargements alignés sur la ligne moyenne•comportement élastique•articulations parfaitestraction-compression et flexion non indépendantes4On écrit l’équilibre du systèmesur le système déformé

Flambage : comportement mécaniquecas appuyé-appuyé• Calcul des éléments de réductionFyABFxPoutre en appui simple à une extrémitéEffort de compression sur l’autre extrémité• Schéma de calculyRA… sur la poutre déformée !Fx• Calcul des réactionsR = F67• Calcul des éléments de réduction• Calcul de la flèche de flambageFyAHTMfNv(x) flèchexHypothèses : v(x)

On cherche A et B à partir des conditions aux limitesen x=0 v(0) = 0 B=0Fen x=L v(L)= 0 A sin( L) 0EIA 0 doncFEIZIl y a donc différents modes de déplacement de la poutre,modes qui sont actifs pour k = 1, 2,...FFc’est-à-dire pour L , pour L EIEICela correspond à différentesvaleurs de F appelées chargeslimites de flambage F k (pour k entier) :Alors, v(x) = A sin (k x/L)L k (k entier)EIFkLz2k2π210• Si F < F 1 alors A = 0la poutre est en compression pas de flambage• Lorsque F = F 1 1 er mode de flambageyv = A sin (x / L )v(x)x• Lorsque F = F 2 2 ème mode de flambageyxv = A sin (2x / L )v(x)11Flambage : dimensionnementFlambage : loi expérimentaleConsidérations pratiques de dimensionnementCharge critique :FFkkEILz2k22 EI πF1kπ ELπIL22z2 2inversement proportionnelleau moment quadratique I ZSelon lesconditionsaux limites :libre, appuyéou encastré• section rectangulaire : F k proportionnelle à h 3• section circulaire : F k proportionnelle à D 4 1213

Flambage : problème typeFlambage : conclusionRégletL = 50 cmb = 15 mme = 0,7 mmpoutre longue en compressionacier E = 200 GPa, Rp= 120 MPaappuyé-appuyé• Charge limite de flambage :2EI πF1 = 3,39 N2L• Contrainte de compression : = N / S = 3,39 /(15x0,7) = 0,32 MPa

Matage d’un rivet à materMatage : comportement•Pression de matage :P matage = F / S•Dimensionnement au matageavec S surface matéeon doit s’assurer que dans la zone de contactP matage < P admissible matageMatage d’un railMatage d’un anneauChapitre 7 - 18Pressions admissibles de matage :dépend des conditions de fonctionnement et des matériaux en présenceEx acier inox E355 : Assemblage fixe : 30 à 200 MPaDéplacement sans charge: 10 à 40 MPaDéplacement sous charge : 3 à 15 MPaChapitre 7 - 19F• Exemple : rivetage de deux tôlesFApplication numérique :(cf. ex5 TD3 cisaillement)F = 2,5 kND = 10 mme = 2 mmSsurface de contactrivet / tôleP matage = F / Savec S = D e / 2Vérifier larésistance aumatage :S = D e / 2 = 31,4 mm²P matage = F / S = 79 MPaA comparer à la pression admissibleP < P admissible matageChapitre 7 - 20Chapitre 7 - 21

• Exemple : clavetageIl existe du matage au niveaude la surface en contact entreclavette et rainure de clavetagede l’arbrePression de matage :Application numérique :C= 110 N.mD = 50 mmb = 12 mmL = 75 mmp FSm4CDLbS m = L b /2 = 450 mm²P matage = 4C / DLb = 10 MPaA comparer avec la pressionadmissible au matageA comparer à la pression admissibleChapitre 7 - 22Chapitre 7 - 23Fluage : définitionFluage(creep)• Le fluage est le phénomène physique qui provoque ladéformation irréversible d'un matériau soumis à unecontrainte constante pendant une durée suffisante età une température supérieure à la températureambiante.• Cette déformation est de nature viscoplastique etdépendante du temps de maintien.Chapitre 7 - 25

Fluage : comportementUn essai de fluage consiste à solliciter une piècesous charge constante (inférieure à la charge delimite élastique) à une température supérieure à latempérature ambiante.Fatigue(fatigue)Chapitre 7 - 26Fatigue : définitionProcessus qui sous l'action de contraintes oudéformations cycliques, répétées ou alternées modifie lespropriétés locales d’un matériau.Cette évolution locale et progressive mais irréversible descaractéristiques mécaniques d'une structure peutentraîner la formation de fissures et éventuellement larupture de la pièce sollicitée en fatigue.Remarque :les matériaux métalliques sont particulièrementsensibles à la fatigue.Chapitre 7 - 28http://mms2.ensmp.fr/mat_paris/duree/transparents/Amphi_Fatigue_2008.pdfChapitre 7 - 29

Fatigue : comportementEssai de fatigue :En règle générale, les sollicitations appliquées résultent dela superposition d'une contrainte constante et d'unecontrainte variable (sinusoïdale, carré, aléatoire,...).Selon les proportions respectives de ces deux contraintes,les effets de la fatigue varient.• Phase I : amorçage de la fissure– Formation d'une micro-fissure (80 à 90 % de la durée de vie de lapièce)– Germination favorisée par toute discontinuité de surface (exemple:piqûres de corrosion, entailles, congés de raccordement à angle droit,usinages, inclusions de surface).– Phase réversible : la pièce peut être réparée par un traitementthermique ou mécaniqueChapitre 7 - 30• Phase II : phase de propagation de la fissure• Phase III : phase de rupture finale de la pièceChapitre 7 - 31Exemple de cycle de fatigue :La pièce considérée est soumise à des cycles de contraintes d'amplitudeet de fréquence constantes.Des essais systématiques permettent d'estimer le nombre N de cyclesqu'elle peut supporter avant rupture.La courbe obtenueest appeléecourbe de Wöhlerou courbe S-N(Stress-Number ofcycles).Fatigue : notion de fiabilitéDéfinition : aptitude d'un système à fonctionnersans incident pendant un temps donné=probabilité qu'a un produit d'accomplir de manièresatisfaisante une fonction requise, sous des conditionsdonnées et pendant une période de temps donnée.La courbe de Wöhler fournit la probabilité de rupture par fatiguec’est-à-dire la probabilité associée à la fonction de répartitionF(t) de l’évènement « défaillance ».Alors R(t) = 1- F(t) est la probabilité que le produit soit en bonfonctionnement au temps t, c’est à dire la fiabilité au temps t.© OTUA - Office Technique pourl'Utilisation de l'Acier -Chapitre 7 - 32qualitéChapitre 7 - 33

Conceptionindustrielle

Démarche de conceptionConception : cahier des charges1) Cahier des charges2) Pré-dimensionnement3) Choix des matériaux4) Dimensionnement final(étude des discontinuités degéométrie ou d’efforts dansla structure)5) Validation1) Analyse et schémafonctionnels2) Pré-calcul RDM3) Analyse des résultats etdimensionnement4) Calcul des concentrationsde contraintes5) Essai sur prototype• Facteur de sécurité• Contrainte d’encombrement• Contrainte de matériaux• Efforts appliqués (type et modes de sollicitation)• Effets éventuels des grandeurs d’influence(température, humidité, pression,…)•…..Analyse et schéma fonctionnels23Conception : pré-dimensionnementConception : choix des matériaux• Concevoir la structure à partir de l’analyse etdu schéma fonctionnels• Simplifier en une structure équivalente• Poser le schéma de la structure• En fonction du pré-dimensionnement• Facteur de sécurité• Marge de sécurité souhaitée• Type de matériau souhaitéPré-calcul RDMAnalyse des résultatset dimensionnement45

Conception : dimensionnement finalHypothèse : contrainte continue dans une section• A partir des résultats précédents: analysedétaillée• Points particuliers dans la structure ?• Où sont appliqués les efforts ?En réalité, vrai seulement :- loin des discontinuités de géométrie- loin des conditions aux limites- loin des points d’application des forcesÉtude des concentrations de contraintesA la discontinuité,il y a des concentrations de contraintes.À prendre en compte !67Définition :facteur de concentrationde contrainte Kt max = k t N• Abaques• Logiciels libres• Calcul de résistance des matériauxplus précis : méthodes numériques(cf. chapitre 6)8

Exemple : congé de raccordementà retenir…r =1,5D=40 d=25ACalcul du facteurde concentrationde contrainte en A• Un trou perturbe le comportement de la pièce,aussi petit soit-il… on peut optimisermais en modifiant la géométrieD= 40 mm ; d = 25 mm ; r = 1,5 mm ; t=(D-d)/2 = 7,5 mmOn utilise l’abaque ou le logiciel de calculd/D = 0,625 ; r/t = 0,2 donc Kt = 2,3Amélioration :on augmente le rayonde raccordement rr (mm) r / t Kt1,5 0,2 2,33 0,4 1,95 0,67 1,6On améliore larésistance de 50%• Pas d’angle vif : l’outil a lui-même un rayon ;l’agrandir dès que possible… on peut optimisersans modifier l’encombrement1415Conception : validationRéaliser le dimensionnement « définitif »– Structure choisie– Matériau choisi– Dimensions choisies et analyséesEssai sur prototype• Réaliser les essais sur le prototype– Savoir appliquer les efforts : actionneur oumachine de traction– Savoir mesurer les efforts : capteur et chaîne demesure• Améliorations ??• Calcul plus précis : méthodes numériques> calcul par éléments finis1617

AbaquesCMAO, Machineset Mécanismes,Laboratoire CASMKt10Guide dudessinateur, lesconcentrations decontraintes,CETIMd/bd/DChapitre 5 - 11

Logiciels libreswww.fatiguecalculator.comstress concentration finder(a)Chapitre 5 - 12Exemples de discontinuitéde géométriea) arbre épauléb) arbre avec gorgesc) arbre avec clavetaged) plaque épaulée) plaque avec gorgesf) plaque trouée…(b)(c)(d)(e)(f)13

Introductionà la méthodedes éléments finis(MEF – FEM)

MEF : historique et intérêtMise au point dans les années 1975.Initialement, utilisée pour :• dimensionnement de structures compliquées• dans le cas où on ne peut pas faire d’essai• pour réduire le nombre d’essais• pour optimiser les dimensions, les masses,les matériaux à utiliser,…2Méthode adaptée à la modélisationde tout phénomène physiquePermet de :– mettre en situation un objetquelconque dans unenvironnement choisi.– renseigner sur le phénomène physiquemis en œuvre.Principaux codes industriels :ANSYS, NASTRAN, SAMCEF, ABAQUS, IDEAS, MECHANICA,FLUX2D, FLUX3D, FLUENT3MEF : principeMEF : mise en œuvre sur cas simplesDiscrétiser la structure :définir de très petits éléments surlesquels on peut considérer queles phénomènes physiques sontglobalement linéairesSimuler les conditions aux limitesen étudiant de proche en prochele comportement de ces petitséléments, la méthode permet decalculer le comportement globalde la structurePoutre en traction(effort concentré)Calcul RDMU= F x / (SE)UxFCalcul par EFN1 N2 N3• Discrétisation• CL: U(0)=0, force F• Analyse : On travaille sur les nœuds• Calcul : On assemble sur les éléments• Résultat : le code calcule :U(N2)= 2F a / (SE) et U(N3) = 4F a / (SE)45

fPoutre en traction(effort concentré + réparti)FCalcul RDMU= (fl + F)x – fx²/2 / (SE)Calcul par EF• Discrétisation 1N1 N2 N3U• CL: U(0)=0, force F et répartition f• Résultat : le code calcule :U(N2)= L(3 f L / 4 + F ) / (2SE)U(N3) = L( f L + 2F ) / (2SE)x•Discrétisation 2N1 N2 N3 N4 N5 N6MEF : démarcheréaliser un calcul simplifié RDMpour obtenir un ordre de grandeur des résultatsétude par éléments finisvérifier la cohérence des résultatsentre calcul simplifié RDM et simulation EFréaliser un essai pour valider les simulationsoptimiser le système67MEF : mise en œuvreMEF : exemplesAVANT :travail d’analyse• choisir le type de modélisation• choisir les éléments• poser les hypothèses• choisir les conditions aux limitesAPRES :travail d’analyse critique• exploitation des résultats• vérification des ordres degrandeurs• vérification des hypothèses• Étude de concentration de contraintes :plaque trouée en traction- dimensions : longueur = 100 mm ; largeur = 50 mmépaisseur = 1 mm ; diamètre trou = 10 mm- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28force appliquée en traction longitudinale : 10 kNLa modélisation d’un système est toujours simplifiéepar rapport à la réalité :il faut donc toujours vérifier la cohérence des résultats.8On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS ®9

A) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)B) Méthode numérique1) Définir la géométrie- Calcul de la contrainte moyenne (ou nominale) dans la section du trou :N = 10000 NS= (w-d)e = 40 mm² N= N / S = 250 MPa- Calcul de Kt d’après les abaques :d/w =10/50=0,2donc Kt = 2,52et Nmax= 630 MPa0,210112) Définir les matériaux3) Réaliser le maillage = discrétiser1213

4) Définir les conditions aux limites : forces etdéplacements imposés5) Lancer le calcul14156) Exploiter les résultatsContrainte non moyennée(MPa)1617

Contrainte moyennéeC) Analyse des résultats Étudier l’ordre de grandeur des résultats Comparer les résultats obtenus avec le résultatdu calcul analytique simplifiéCalcul analytique :Calcul éléments finis : Nmax= 630 MPa Nmax= 600 à 620 MPaOrdre de grandeur correct !(MPa)Le calcul analytique est donc fiable :ne pas hésiter à le faire !1819• Étude de concentration de contraintes :réduction de sectionA) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)F- Calcul de la contrainte nominale dans la section du congé :N = 5000 NS= ed = 35 mm²r ? N= N / S = 143 MPa- dimensions : longueur = 120 mm ; largeur = 50 mmépaisseur = 1 mm ; rayon du congé de raccordement = 10 mm- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28force appliquée en traction longitudinale : 5000 N- Calcul de Kt d’après les abaques :d/D = 35/50 = 0,7r/(D-d) = 10/(50-35) = 0,67On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS ®20donc Kt = 2,1et Nmax= 300 MPa0,7

Maillage et conditions aux limitesF=5000 NAmélioration :augmentation du rayon du congé de raccordementRésultats : contraintesR = 20 mm250 MPaKt = 250/143Kt = 1,7R = 10 mm300 MPaKt = 300/143Kt = 2,10 50 100 200 220 240 260 270 280 300 ( MPa )‣Diminution de la contrainte0 50 100 200 220 240 26 0 280 300 ( MPa )22‣Meilleure tenue mécanique de la pièce23C) Analyse des résultatsMEF : conclusionComparaison calcul EF / calcul analytique :analytiquerayon du congé r 10 20largeur max D 50 50largeur min d 35 35d/D 0,7 0,7D-d 15 15r/(D-d) 0,67 1,33Kt 2,1 1,6logiciel Kt 2,1 1,7éléments finis Kt 2,1 1,7Ordre de grandeur correct !2,0 1,024La méthode des éléments finis est précise et permetd’optimiser les structures. Elle permet d’étudier lecomportement d’une structure sous diverses sollicitations.Mais la mise en œuvre est délicate et demande dusavoir-faire notamment pour le maillage et l’applicationdes conditions aux limites.Il est donc toujours nécessaire de réaliser un calcul initialsimplifié.25