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Stage LATEX Fiche 4 : Mathématiques Sommaire Conventions Premier document Commandes Présentation Mathématiques Tableaux Correction Index Exercice IV.1 : Devinettes Équation de la tangente en x 0 : y = f ′ (x 0 ) (x − x 0 ) + f (x 0 ) avec f ′ = ∆ = b 2 − 4ac. Si ∆ > 0 alors x = −b ± √ ∆ . 2a −→ −→ AB · CD = xx ′ + yy ′ . u n+1 = q × u n = u 0 × q n+1 . P(X = k) = ( n k ) × pk × (1 − p) n−k . X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2 : X ↩→ B(10;0,2). ( u v ) ′ = u ′ v − uv ′ v 2 . L’exemple suivant montre en quoi le mode mathématique en ligne peut encore être différent du mode hors texte toujours dans un soucis de respect des espaces inter-lignes. 1 $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \sum_{i = 0}^n q^i$\medskip 2 3 $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \displaystyle{\sum_{i = 0}^n q^i}$ 1 + q + q 2 + · · · + q n = ∑ n i=0 qi 1 + q + q 2 + · · · + q n = n ∑ q i i=0 Finissons avec la classe de terminale. Compilez le prochain exemple et consultez les points suivants : 1°) Essayez de comprendre la fonction de la commande \mathrm (il s’agit d’une autre fonte mathématique pas encore rencontrée). 2°) Quelle est la fonction de \substack? 3°) Écrire l’intégrale et les limites en mode hors texte afin de comparer les présentations. 1 $\int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac 13$.\medskip 2 3 $\lim_{x \to +\infty} e^x= +\infty$.\par 4 On parle de la fonction $x \mapsto \exp(x)$.\medskip 5 6 $\lim_{x \to 0^+}\ln(x) = -\infty$ ou encore\par 7 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \ln(x) = -\infty$.\medskip 8 10 9 $a \equiv b\; [n] \quad\Leftrightarrow\quad \exists\, k \in \mathds Z,\; a - b = kn$.\medskip 11 $\left\lvert e^{i\theta}\right\rvert = 1$. ∫ 1 0 x2 dx = [ ] x 3 1 3 = 1 0 3 . lim x→+∞ e x = +∞. On parle de la fonction x ↦→ exp(x). lim x→0 + ln(x) = −∞ ou encore ln(x) = −∞. lim x→0 x>0 Finissons par une dernière définition à recopier et à compiler : Code IV.12 : Fonctions continues a ≡ b [n] ⇔ ∃ k ∈ Z, a − b = kn. ∣ e iθ ∣ ∣ = 1. 134 \textbf{Définition.} Soient $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mathds{R}$ et un élément $a$ de $A$.\par 135 On dit que $f$ est \textbf{continue} au point $a$ lorsque : 136 \[\forall \varepsilon > 0,\quad \exists \eta > 0,\quad \forall x \in A,\qquad 137 \left\vert x- a \right\vert < \eta \quad \Rightarrow \quad \left\vert f(x) - f(a) \right\vert < \varepsilon\] IV Aligner des égalités Lorsque l’on veut écrire les étapes d’un long calcul, la plupart du temps, les différentes étapes sont écrites en colonne et alignées. L’environnement align permet de faire cela. • 26 • Philippe DE SOUSA

Fiche 4 : Mathématiques Stage LATEX 1 \begin{align} 2 (2x + 4)^2 &= (2x)^2 + 2\times 2x\times 4 + 4^2 \\ 3 &= 4x^2 + 16x + 16 4 \end{align} (2x + 4) 2 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 (4.1) = 4x 2 + 16x + 16 (4.2) On note ici l’utilisation de deux caractères spéciaux : & et \\. Le premier permet d’identifier l’endroit où se fera l’alignement. Le deuxième permet d’indiquer un changement de ligne. On retrouvera ces deux caractères dans la composition de tableau. On peut être gêné par l’utilisation automatique de la numérotation de toutes les lignes. La commande \nonumber règle le problème. La commande \tag{〈texte〉} permet quand à elle de passer outre la numérotation automatique. 1 \begin{align} 2 (2x + 4)^2 &= (2x)^2 + 2\times 2x\times 4 + 4^2 \nonumber\\ 3 \shortintertext{\textit{(id. remarquable)}} 4 &= 4x^2 + 16x + 16 \tag{A} \\ 5 &= 4x^2 + 16x + 16 \tag{354} 6 \end{align} (2x + 4) 2 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 (id. remarquable) = 4x 2 + 16x + 16 (A) \shortintertext{〈texte〉} sert à insérer du texte au milieu d’une suite de calcul. = 4x 2 + 16x + 16 (354) Finalement, si on ne souhaite numéroter aucune ligne, on écrira \begin{align*} et \end{align*}. 1 \begin{align*} 2 (2x + 4)^2 &= (2x)^2 + 2\times 2x\times 4 + 4^2 \\ 3 &= 4x^2 + 16x + 16 4 \end{align*} V Exercice Établir le code source permettant d’obtenir le document ci-dessous : Exercice IV.2 : Evaluation (2x + 4) 2 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 = 4x 2 + 16x + 16 Exercice 1. Recopier et compléter les égalités suivantes en écrivant le nombre qui convient à la place de ? : 2 3 = 2×? 3×? = 14 ? ; 15 35 = 3×? ?×? = ? 7 Exercice 2. Écrire les fractions suivantes sous forme irréductible : A = 21 35 ; B = 90 54 Exercice 3. Effectuer la division décimale suivante : C = 13,608 ÷ 4,2. Exercice 4. Résoudre les équations suivantes : Exercice 5. 6x + 3 = 12 ; 3x + 2 = 5 − 6x ; 2(x − 3) = 8x La fonction f est définie pour tout x ∈ R par f (x) = 2x 3 − x 2 − 4x + 1. 1°) Le point E de coordonnées (−1,25 ; 0,5) appartient-il à C f ? Justifier la réponse. 2°) Développer (x − 1) 2 . 3°) Démontrer que f (x) = (2x + 3)(x − 1) 2 − 2. 4°) En déduire les antécédents de −2 par la fonction f . 5°) En détaillant précisément les étapes, calculer l’image de −1 2 par la fonction f . Sommaire Conventions Premier document Commandes Présentation Mathématiques Tableaux Correction Index Lycée J.-P. TIMBAUD • 27 •

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Tableau de bord Santé-environnement 2012 - Partie III - SISTEPACA
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