MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

A MATEMATIKA TANÍTÁSA2012. szeptemberCsete LajosEgy ciklikus egyenlõtlenség általánosítása1. BevezetésIsmert a következõ egyenlõtlenség:Legyenek a 1 , a 2 , ..., a n pozitív valós számok.Ekkor fennáll, hogy2 2 2 2a1 a2 a...n−1an1 + 2 2 + 3 n−1 + n n + 1+ + + + ≥a a a a a a a a≥ 1 ⋅ ( a ... ).1 + a2+ + a n2Ez például versenyfeladat volt 2001-ben azOrszágos Középiskolai Tanulmányi Versenyen,illetve korábban egyéb helyeken is kitûzték.[3],[4],[6],[9],[10].(A [3] cikkben olvashatunk a történetérõl és8 megoldást tekinthetünk meg.)A következõkben célunk ezen egyenlõtlenségegy általánosítása. Ehhez elõször egy segédtételtidézünk fel.2. Egy Young-féle segédtételA következõ segédtételt azért nevezzükYoung-féle segédtételnek, mert ez a Young-féleegyenlõtlenség (1912) egy speciális esete. Ebbõlkülönben könnyen levezethetõ a Hölderféleegyenlõtlenség is.A Young-féle segédtétel:Ha a és b nemnegatív valós számok ésp > 1, q > 1 olyan valós számok, amelyekre teljesül1 + 1 = 1, akkor fennáll, hogyp qpqa b+ ≥a⋅b,p qahol egyenlõség akkor és csak akkor van, haa p = b q .Bizonyítás:A súlyozott számtani és mértani közép közöttiegyenlõtlenséget fogjuk alkalmazni. [7]Mint tudjuk, fennáll, hogyw w w1⋅ 1 + 2⋅ n2 + + n⋅ n ≥1⋅2⋅ ⋅ nw x w x w x x x x1 2... ... ,ahol x 1 , x 2 , ..., x n pozitív valós számok és w 1 ,w 2 , ..., w n szintén pozitív valós számok, az úgynevezettsúlyok.Legyen n = 2 és x 1 = a p , x 2 = b q , míg a súlyok1 1w1= és w 2 = .p qEkkor a súlyozott számtani és mértani középközötti egyenlõtlenség szerint:papq1 1p p q qb+ ≥( a ) ⋅ ( b ) = a⋅b.q3. A Bernoulli-féle egyenlõtlenséglevezetése a Young-féle segédtételbõlA Young-féle segédtételbõl indulunk ki:p qa b+ ≥a⋅ b,ahol a és b nemnegatív valósp qszámok, míg p és q 1-nél nagyobb olyan valósszámok, amelyekre 1 1 p+ = 1. Ebbõl q = .p qp − 1Ezt felhasználva kapjuk, hogy:pqa b≥ a⋅b−,p qvagyispa p−1≥a⋅b− ⋅bp pEzenkívül legyen b = 1, tehátvagyispappp−1p−1 1pp1 −≥ a − ⋅ppap−1≥ a − .p p.18 MOZAIK KIADÓ