MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

2012. szeptember A MATEMATIKA TANÍTÁSACsonka DorottyaSonkás szendvics és egyéb folytonoscsemegékABevezetésbudapesti Berzsenyi Dániel GimnáziumMatematika táborában 11.-es és 12.-esspeciális matematika tantervû és érdeklõdõtatai diákok foglalkoztak a folytonosságtémakörével két órán keresztül. A foglalkozásgerincét Tabachnikov Considerations of Continuity(Quantum 1990 májusi száma 8—12. oldal)cikke adta. A cikkben az itt elhangzottakkalismertetjük meg a kedves Olvasót.Az alábbiakban csak egzisztencia bizonyításokkaltalálkozunk. A feladatok során csak a megoldáslétezését bizonyítjuk, nem számítjuk kia gyök pontos értékét, nem szerkesztjük mega keresett egyeneseket, érintõket.Útjuk során biztosan lesz egy olyan pillanat,amikor ugyanolyan magasan lesznek, hiszena fentrõl érkezõ hegymászó magassága folyamatosancsökken, míg a lentrõl felfelé tartóéfolyamatosan növekszik.Ábrázoljuk közös grafikonon a tengerszint felettimagasságot az idõ függvényében. Példaképpálljon itt egy lehetséges grafikon:Ismerkedés a fogalommalElõször nézzük egy hegymászóesetét. Ez a hegymászóaz 1000 méteren lévõalaptáborból reggel 7 órakorindulva este 7 órára érkezikmeg a 4000 méteres csúcsra. Másnapreggel 7 órakor indul vissza (nem feltétlenülazonos útvonalon), de ugyanúgy este 7-re érkezikmeg az alaptáborba. Bizonyítsuk be, hogyvolt olyan idõpont a lefele vezetõ út során,amikor ugyanolyan magasan volt, mint elõzõnap ugyanabban a pillanatban.Képzeljük el, hogy egyszerre két hegymászótindítunk útnak: az egyiket az 1000 méteren lévõalaptáborból, a másikat a 4000 méteren lévõcsúcsról reggel 7-kor. Útjuk során folytonosanhaladnak, minden magassági értéket felvesznek.Az egyik hegymászó felér a 4000 méterenlévõ csúcsra, a másik pedig megérkezik az 1000méteren lévõ alaptáborba este 7 órára.1. ábraMivel a két függvény kezdeti és végállapotai páronkéntmegegyeznek, és folytonosak, következik,hogy lesz egy olyan idõpillanat, amikor a kétgrafikon metszi egymást.A folytonos függvény azon tulajdonságát használtukki, hogy két függvényértéke között mindenértéket felvesz. Ez az állítás elég magátólértetõdõ 1 , viszont sok nyilvánvaló állításhoz hasonlóannem egyszerû a bizonyítása. De ez nem1 Ezt a szemléletességet nagyon nehéz legyõzni. MaxPlanck a XX. század elejen mégis merészen feltette, hogya hullámoszcillátor energiája a klasszikus fizika folytonosképével ellentétben energiakvantumok egész számú többszöröse,azaz csak diszkrét értékeket vehet fel. A folytonossággalvaló zseniális szakítása megmagyarázott egysor, a klasszikus fizikából nem következõ jelenséget, ésaz atomok és a még ennél is kisebb objektumok fizikaitörvényeinek felisméréséhez, a kvantummechanika megszületéséhezvezetett.MOZAIK KIADÓ 31