MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

A MATEMATIKA TANÍTÁSA2012. szeptemberaz A ´ K, B ´ L, C ´ M és D ´ N megfeleltetés,miközben az adott paralelogramma jelölésétrögzítve a beírtnak a csúcsai a centrálisszimmetria miatt kétféleképpen is betûzhetõk: a2. ábrán egyidejûleg cseréljük fel a K és M, valamintaz L és N pontokat. S minthogy bármelyparalelogrammát egyértelmûen meghatározzakét szomszédos csúcsa és a középpontja, ezértaz adott és a beírt paralelogramma pontosanakkor hasonló, ha két-két szomszédos csúcsukés a közös középpontjuk által meghatározott megfelelõháromszögek hasonlók, amelyek körüljárásaugyanúgy lehet egyezõ vagy ellentétes.Elsõként foglalkozunk azzal az esettel, amikoraz adott ABCD és a hozzá hasonló beírtKLMN paralelogramma azonos körüljárású,amihez elegendõ az egyezõ körüljárású OBC èés OLM è hasonló háromszögeket vizsgálni(3. ábra). Ekkor a megfelelõ szögeket azonosszámú körívvel jelölve észrevehetõ, hogy azOM szakasz a B és L pontokból egyenlõ szögbenlátszik, vagyis a B, L, O és M pontok egy kkörre illeszkednek. Ezen k körben az OL húrttekintve adódik az OBL¬ és OML¬ kerületiszögek egyenlõsége, s mivel a hasonlóság miattOML¬ @ OCB¬, ezért OBL¬ @ OCB¬ is fennáll.Ha E jelöli a B kezdõpontú, BC-vel ellentétesfélegyenes valamely belsõ pontját, akkor azm(ABE¬) = m(BAD¬) = a, m(OBL¬) = 180º -- [m(ABE¬) + m(OBC¬)] és m(OCB¬) = 180º -- [m(BOC¬) + m(OBC¬)] összefüggésekbõlOBL¬ @ OCB¬ miatt a = m(ABE¬) = m(BOC¬) == j kapható: tehát az adott ABCD paralelogrammaátlóinak szöge megegyezik két oldalánakszögével. Ennélfogva arra jutottunk, hogyegyezõ körüljárást tekintve csak az ilyen tulajdonságúadott paralelogrammába írható hozzáhasonló paralelogramma ([4] 164. oldal).A szerkesztés kivitelezéséhez tételezzük fel,hogy az adott ABCD paralelogrammára a == m(BAD¬) = m(AOD¬) teljesül (4. ábra). Ezutánszerkesszük meg az OB szakasz g felezõmerõlegesét, majd a B pontban AB-re és BC-remerõlegeseket, amelyek g-bõl kimetszenek egyUV szakaszt, s ennek tetszõleges belsõ pontjátközéppontnak választva rajzoljuk meg az O és Bponton áthaladó k kört, ami az AB oldalt L ésa BC oldalt M belsõ pontban metszi. Az így kapottOLM è háromszög szögeit feleltessük megaz OBC è háromszög szögeinek. Megmutatjuk,hogy a megfelelõ szögek között van két egybevágó.Ugyanis a k körben az OL és OM húrokattekintve OBL¬ @ OML¬ és OBC¬ @ OLM¬,s ígym(OCB¬) = 180º - [m(BOC¬) + m(OBC¬)] == 180º - [a + m(OBC¬)] = m(OBL¬) == m(OML¬)miatt OBC è ~ OLM è is igaz. Ezen szerkesztéssorán lényeges, hogy a k kör az AB és BC oldalakategy-egy belsõ pontban messe: ez a kkör középpontjának a felvétele miatt teljesül.S minthogy az AB-re és BC-re B-ben állítottmerõlegesek hajlásszöge a-val egyenlõ, ezértnem eshetnek egybe, s így a g-bõl általuk kimetszettUV szakasznak végtelen sok belsõpontja van: tehát az adott ABCD paralelog-DNCDNCKOjKOaVA aL3. ábraMka BEAaULg4. ábraMka BE22 MOZAIK KIADÓ