MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

2012. szeptember A MATEMATIKA TANÍTÁSAMegoldás: Az 1. állításnál láttuk, hogy léteziktetszõleges irányú felezõ egyenes. Legyen a kétalakzatunk S (mint sonka) és K (mint kenyér).Húzzunk meg egy olyan S-t felezõ egyenest,amelynek egyik oldalán helyezkedik el K. Legyenez a 0º-hoz tartozó felezõ egyenes. Majdezt a szöget folytonosan változtatva hozzuk létremindig a szöghöz tartozó S-t felezõ egyenest.Lesz olyan a, amikor már a K alakzat az egyenesmásik oldalán helyezkedik el. Az egyenesegyik oldalán lévõ területet nevezzük T 1 -nek,a másik oldalán lévõ területet T 2 -nek. KezdetbenT 1 - T 2 negatív, a esetén pozitív. Azaz elõjeletvált. Tehát van olyan szög, amely egyszerrefelezi K és S területét (7. ábra).8. a állítás (Tükörtojás-tétel) Konvex alakzattartalmaz egy másik konvex alakzatot. A belsõalakzatnak léteznek olyan e és f érintõi, amelyekpárhuzamosak, és a külsõ alakzatból egyenlõterületû részeket vágnak le (8. ábra).8. ábra8. b állítás: Minden konvex alakzatnak vannakolyan e és f húrjai, melyek egyszerre párhuzamosak,egyenlõ hosszúak és a konvex alakzatothárom egyenlõ területû részre osztják fel.7. ábraMegjegyzés: A Pizza-tétel és a Sonkás szendvicstételanalóg, ha a kerületet megfeleltetjük az Shalmaznak. Valamint vegyük észre, hogy a bizonyításbannem volt fontos, hogy hol helyezkedikel egymáshoz képest az S és a K halmaz.Azaz a bizonyítás akkor is igaz, ha a kenyérszeletmég a péknél, a sonkaszelet pedig még a hentesnélvan...7. c állítás (Háromdimenziós sonkás szendvics-tétel):Létezik olyan sík, amely egyszerrefelez három konvex alakzatot.Darabolós problémák — kérdések a konvexalakzatokon belül8. c állítás: Adott két konvex alakzat úgy, hogyaz egyik tartalmazza a másikat. Bizonyítsuk be,hogy a kisebb alakzatnak vannak olyan érintõi,melyek egymással párhuzamosak, és egyenlõhosszú részük fut a külsõ alakzaton belül (9/a ábra)!8. d állítás: Adott két konvex alakzat úgy, hogyaz egyik tartalmazza a másikat. Bizonyítsuk be,hogy a külsõ alakzatnak van olyan pontja, amibõlegyenlõ hosszú érintõket húzhatunk a belsõalakzathoz! ($X’ ŒKülsõ: XZ = XY) (9/b ábra)8. e állítás: Adott három konvex alakzat a9/c ábra szerint egymásba ágyazva. Bizonyítsukbe, hogy a külsõ alakzaton van olyan X pont ,hogy abból a legbelsõ alakzatba húzható olyanérintõ, melynek a második alakzatba esõ részeiazonos hosszúak. ($X ŒKülsõ: AB = CD)Megoldás: Legyen AB = a és CD = b. Vegyükfel X-et úgy, hogy b a legnagyobb húzhatóMOZAIK KIADÓ 35