MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

2012. szeptember A MATEMATIKA TANÍTÁSADr. Darvasi GyulaÍrjunk adott paralelogrammábahozzá hasonlót!Acímben kitûzött probléma és annak megoldásaismerõs lehet a KöMaL Gy. 2492-es gyakorló feladata révén ([4] 163—165. oldal). Mostani célunk nem csupán a felelevenítéslesz, hanem több új irányban elvégzettvizsgálat és további megoldások bemutatása.Az ABCD paralelogrammára legyen a = AB == CD, b = AD = BC, e = AC, f = BD, AC∩ BD == {O}, m(BAD¬) = a és m(BOC¬) = j (1. ábra),ahol 0º < j £ 90º esetén a ≥ b teljesül ([2] 68.oldal, 11.5/1. tétel). Az oldalak és az átlók közöttfennáll az e 2 + f 2 = 2(a 2 + b 2 ) ([3] 32. oldal,289. feladat), valamint a területekre a 2t(ABCD) == 2absina = efsinj = t(PQRS) összefüggés, ahola PQRS paralelogramma oldalai az AC ésBD átlókkal párhuzamosak.Ha az ABCD paralelogrammába egy KLMNparalelogrammát kívánunk beírni, akkor annakcsúcsaira megköveteljük, hogy azok bármelyikeaz ABCD különbözõ oldalain belsõ pont legyen.A beírás kétféleképpen végezhetõ el aszerint,hogy az adott és a beírt paralelogramma körüljárásaegyezõ vagy ellentétes (2. ábra). Mindkétesetben teljesül, hogy az adott és a beírt paralelogrammaközéppontja egybeesik. Ennek belátásáhozfelhasználjuk, hogy a paralelogrammaPjAKaDNLOjQBMCRközéppontja illeszkedik mindkét középpárhuzamosegyenesére ([2] 82. oldal, 14.3/2. tétel).Ha a beírt KLMN paralelogramma középpontjátO * -gal jelöljük, akkor az AD oldalon lévõ Kpontnak O * -ra vonatkozó K’ = M tükörképe rajtavan AD-nek O * -ra vonatkozó AD ’ ’ tükörképén,ami a centrális tükrözés miatt párhuzamosAD-vel, s így AD ’ ’ = BC adódik, mivel az M∈ AD ponton át AD -vel csak egy párhuzamoshúzható. Ennélfogva O * egyenlõ távolságravan az AD és BC egyenesektõl, vagyis illeszkedikazok középpárhuzamosára. Ugyanígy látható be, hogy O * rajta van az AB és CDegyenesek középpárhuzamosán is: tehát O *ezen két középpárhuzamosnak a metszéspontja,ami viszont egybeesik az ABCD paralelogrammaO középpontjával ([4] 163. oldal).Ha az adott ABCD paralelogrammába egyhozzá hasonló KLMN paralelogrammát írunkbe, akkor ezen hasonlóság során mindig fennállAKKDDNLOOLBMMCCS1. ábraA N B2. ábraMOZAIK KIADÓ 21