MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

2012. szeptember A MATEMATIKA TANÍTÁSA434. Mutassuk meg, hogy tetszõleges n pozitívegész szám és a ∈ ⎥ 0;⎤ p ⎡2n⎦ ⎢ esetén fennáll⎣a következõ egyenlõtlenség:Alkalmazzuk a bal oldal pozitív tagú összegérea számtani és mértani közép közötti egyenlõtlenséget.x1 n x2n xn+ + ... + n ≥n n i−1nn n ncos (2 a) n ⋅ sin(2 a)1− x1 1− x21−x n∑≥.n i−1n ni=1 1 −cos (2 a) 2 ⋅sina −sin(2 a)x1 n x2n ... xn≥n⋅ nn =Dályay Pál Péter, Szegedn n n(1 − x1)(1 − x2)...(1 − x n )nx1x2...x=n. (**)⎤ p ⎡a ∈ ⎥⎦ 2 n ⎢ ezért sin(2 i a) és cos(2 i - 1 n n n na)(1 − x1)(1 − x2)...(1 − xn)⎣2. állítás: Ha 0 < a i < 1 (i = 1, 2, ..., n), akkorn(1 −a1)(1 −a2)...(1 −a ) 1 nn ≤ − a1a2... an.nnsin(2 a)=Bizonyítás: Írjuk fel a számtani és a mértani középközötti egyenlõtlenséget egyrészt az (1 - a i ),nn2 sina− sin(2 a)n−1ncosa ⋅cos 2 a ⋅... ⋅cos(2 a) másrészt az a i pozitív számokra (i = 1, 2, ..., n):=n−1.1 − cosa ⋅ cos 2 a ⋅ ... ⋅ cos(2 a)(1 - a 1 ) + (1 - a 2 ) + ... + (1 - a n ) ≥≥n⋅ n (1 −a1)(1 −a2)...(1 −a n ),illetvesin(2 n a) = 2 n ◊ sina ◊ cosa ◊ cos2a ◊ ... ◊a◊ cos(2 n - 1 1 + a2 + ... + a nn ≥n⋅a1a2... an.a) (*)Adjuk össze a két egyenlõtlenség megfelelõ oldalait:n≥n⋅ n(1 −a1)(1 −a2)...(1 − a ) nn + n⋅a1a2... an.Mindkét oldalt n-nel osztva, majd rendezve a 2.állítás egyenlõtlenségét kapjuk.Alkalmazzuk a 2. állítást (**) jobb oldalánaknnevezõjére ( ai= xi) :nx1x2... xnnx1x2...x≥n.n n n n(1 − x1)(1 − x2)...(1 − x ) 1 − xx 1 2...xnnEzzel az eredeti egyenlõtlenséget bizonyítottuk.n n n n−1cos a cos 2a cos (2 a)+ + ... + ≥Velkeyné Gréczi Alice, Ipolyszögn n n n−1− a − a − a A megoldók száma: 6.n − 1ncosa ⋅cos 2 a ⋅... ⋅cos(2 a) ≥n − 1 .1 − cosa ⋅ cos 2 a ⋅ ... ⋅ cos(2 a)n n nx1 x2 x 1 2 ...... n nx ⋅x ⋅ ⋅x+ + + ≥ n.−n n nx1 − x2− xn1 − x1 ⋅ x2⋅ ... ⋅ xnMegoldás: Mivel tetszõleges pozitív egész nesetén 0; ,pozitív bármely i Œ{1; 2; ...; n} esetén.Elõbb egy azonosságot látunk be.1. állítás:Bizonyítás: Átalakításokkal a bizonyítandó azonossága következõ alakban írható:Ezt teljes indukcióval bizonyítjuk.n = 1 esetén a jól ismert addíciós összefüggéstkapjuk.Tegyük fel, hogy n-ig igaz az állítás és vizsgáljuk(n + 1)-re.sin(2 n + 1 a) = sin(2 ◊ 2 n a) = 2sin(2 n a)cos(2 n a) == 2 ◊ 2 n ◊ sina ◊ cosa ◊ ... ◊ cos(2 n - 1 a) ◊ cos(2 n a) == 2 n + 1 ◊ sina ◊ cosa ◊ cos2a ◊ ... ◊ cos(2 n a)Ezzel az 1. állítást bebizonyítottuk.A feladatbeli egyenlõtlenség a most bizonyítottállítás alapján a következõ alakban írható:1 cos 1 cos 2 1 cos (2 )Legyen x i = cos(2 i - 1 a) (i = 1, 2, ..., n). A megoldáselején tett megjegyzés alapján világos, hogy0 < x i < 1. Ezzel a bizonyítandó egyenlõtlenség:1 1 1A megoldók névsora: Borbély József, Tata(430—434.); Dályay Pál Péter, Szeged (430—434.); Nagy Sándor, Békéscsaba (430., 431.,434.); Rakonczai György, Budapest (431., 432.,434.); Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely (430—432., 434.); Velkeyné Gréczi Alice, Ipolyszög(430., 432., 434.); Zsidó Nagy György, Kolozsvár(430., 431.).MOZAIK KIADÓ 47