MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT - Mozaik Kiadó

A MATEMATIKA TANÍTÁSAADralelogrammára KL = AD és LM = teljesül.A második esetben a k kör középpontja le-ABgyen a V pont (7. ábra), ami azonos az OBC èháromszög körülírt körének a középpontjával,mivel V rajta van az OB szakasz felezõ merõlegesénés az FBC¬ kerületi szög BF száráraB-aKaA = KNaAaAD = NDDLKaaOaOg7. ábrag8. ábragOaU9. ábraVVaB = LBMBkNCLF2C = MkMCk2012. szeptemberben állított merõlegesen. Ekkor a szerkesztés eredményekéntK = A, L = B, M = C és N = D kapható:tehát KLMN egybevágó az adott ABCDparalelogrammával, s így a hasonlóság nyilvánvaló,bár ezt nem fogjuk beírtnak tekinteni.Ha pedig a k kör középpontjának a V kezdõpontúVU -val ellentétes félegyenes azon belsõpontját választjuk, amelyre az ABCD hosszabboldala egyenlõ a KLMN rövidebb oldalával(8. ábra), akkor a K, L, M és N csúcsok, bár illeszkednekaz ABCD oldalainak egyeneseire, deaz oldalaknak külsõ pontjai: tehát KLMN azABCD-re nézve egy körülírt paralelogramma.eaS minthogy OC = , e = a 2, l = és2ba2 2OM = l ◊ OC = , ezért az OBC è háromszögbõlStewart-tétellel BM = kapható2b2 2a + b2b([2] 319. oldal 36.4/2. tétel). Ezután a k kör középpontjalegyen az U kezdõpontú, UV -vel el-lentétes félegyenes azon belsõ pontja, amelyreKLMN @ ABCD (9. ábra). Ekkor a K, L, M és Ncsúcsokra A—D—K, A—L—B, M—B—C és C—N—D, sa 2mivel az egybevágóság miatt OM = OC = ,22 2a − bezért az OBC è -bõl BM = adódik. S végüla k kör középpontja legyen azonos az OAB è2bháromszög körülírt körének középpontjával (10.ábra), amikor KLMN csúcsira A—D—K, L = A,M—B—C és N = C, továbbá a hasonlóság miattKLKN = a = LM ésLM = BC + BM = ABLM BC fi2 2a − bBM = teljesül.bEzen kitérõ révén felfedezhetõ, hogy aBAD¬ @ AOD¬ feltételt kielégítõ ABCD paralelogrammamegadása után a hozzá hasonlóKLMN paralelogramma beírásához mellõzhetõaz elõbbi k kör megrajzolása: ugyanis az Mcsúcs a BC oldal tetszõleges belsõ pontja lehet.Ennélfogva megtehetõ, hogy egy M∈int BCpont kijelölése után az OM egyenes B-t tartalmazóoldalán az OM félegyenesre másoljuk az24 MOZAIK KIADÓ