Betekintés - Mozaik Kiadó

M·ZAIKM·ZAIK40Matematika • emelt szinte 1l.: (62) 470-101, Fax: (62) 554-666o@mozaik.info.hu, Tel.: 31-42-612M·ZAIKwww.mozaik.info.hu., Tel.: (62) 470-101, Fax: (62) 554-666kiado@mozaik.info.hut 70., Tel.: 31-42-612M·ZAIKwww.mozaik.info.huM·ZAIKKM·ZAIKKM·ZAIKMS-2313Színvonalas felkészítésaz emelt szintű érettségireés a továbbtanulásra.M·ZAIKMS-2327Az analízis elemeiEmelt szintű tankönyv és feladatgyűjteményKönyvünk a középiskolák emelt szinten tanuló diákjainakés az ezekben a csoportokban oktató tanároknak kívánsegítséget adni a „normál” tananyagot meghaladó, ezérta tan könyvekben nem, csak az érettségin szereplő részekelsajátításához.A kötet témakörei:• EMLÉKEZTETO, VÉGTELEN HALMAZOK• SOROZATOK• FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI• DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS• INTEGRÁLSZÁMÍTÁS• VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁSA kötet anyaga némileg túlmutat a kötelezően előírt „emeltszintű” tananyagon. Egyrészt szeretnénk válogatási lehetőségetbiztosítani a tanulóknak az emelt szintű érettségiszóbeli tétel választáshoz, hogy mindenki megtalálhassaa szívéhez közel álló bizonyítási módszert és összefüggést.Másrészt ala po san be kívánjuk mutatni a tételek mögöttmeghúzódó gondola to kat. Ezért a tárgyalás során majdnemminden ötlet – más és más meg világításban – többszöris előkerül. Harmadrészt úgy gon doljuk, hogy a továbbtanulókszámára szakmai alaptantárgy lesz az analízis, ezértegy külön színkóddal – lilával – kiemelve olyan tételeketés fel adatokat is bemutatunk, amelyek a felsőfokú analízistanulmányokat készítik elő.A könyv átmenetet képez a középiskolaiés a felsőfokú tárgyalásmód között, így a felsőoktatásiintézményekben is használható lesz.FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI–1y3f( x 0 ) 2f( x n )114. ábra–1yefx ( 0 )e fx ()115. ábrapontban folytonosfüggvény112 3 4x0 ¬ xnxd dx 0Vegyük észre, a folytonosságnálmegköveteljükx 0 ÎD f-et, míg a határértékesetén nem!xx5. Függvény folytonosságaA folytonosság fogalma bár nagyon szemléletes, azonban legalábbennyire nehéz fogalom. Precíz megragadásához komoly apparátusszükséges.Folytonos függvényre biztosan mindenki tud példát mondani: a lineáris,másodfokú, sõt n-ed fokú hatványfüggvény folytonos, hasonlóanaz exponenciális, logaritmus- vagy szinusz-, koszinuszfüggvényekhez.Az is biztos, hogy nem folytonos függvényekre is van példánk, csakolyan függvényt kell keresni, amely „elszakad”. Pl. a reciprokfüggvény,x3a h(x) = függvény, az elõjelfüggvény, az egészrész vagy a törtrészxfüggvény. Mi az eltérés a „szakadt” és a folytonos függvények között?Abból indulunk ki, hogy a függvénygörbe akkor nem „szakad” az x 0pontban, ha a függvényértékek minden határon túl megközelítik f(x 0)-t,míg a változó minden határon túl megközelíti x 0 -t. Ezt legegyszerûbbena határérték segítségével adhatjuk meg.3.9. DEFINÍCIÓ: Legyen f(x) értelmezve x 0 -ban és valamely környezetében.Az f(x) függvény folytonos az x 0 ÎD fpontban, ha x 0 -ban van véges határértéke és ezegyenlõ a függvény x 0 -ban felvett értékével.Jelöléssel: lim fx ( ) = fx ( 0).x® x 0Megjegyzések: Definíciónk a pontban való folytonosság definíciója. Példáulaz f(x)=2x – 1 függvény a definíció szerint x 0 = 2 pontban folytonos.A meghatározás megadható a határérték Heine- és Cauchy-féle definícióihozhasonló módon is, ha megköveteljük, hogy a függvény az x 0 helyen értelmezvelegyen. (14. és 15. ábra)1. példaxBizonyítsuk be, hogy az fx ( ) = 8+függvény folytonos az x 0 =4pontban.x – 3nMegoldásLegyen minden n-re x n ÎD f úgy, hogy x n ® 4. Ekkor8 + xlim n 8 4= + = = f( ).xn– 3 4 – 3 12 x ®4Beszélhetünk a határértékhez hasonlóan jobb és bal oldali folytonosságról.Pl. egy függvény x 0 -ban balról folytonos, ha az x 0 pontbeli baloldali határértéke egyenlõ a függvény x 0 -beli értékével. Egyes esetekbenszükség is van erre, pl. fx ( )= xfüggvény az x 0 = 0 pontbancsak jobbról folytonos.Megjegyzések: Ha a bevezetõ példák grafikonját vizsgáljuk, akkor f(x)=2x –1függvénynek x 0 = 2 pontban nem volt szakadása, viszont g(x)-nek x 0 = 1 ésh(x)-nek x 0 = 0 pontban igen. Vagyis f(x) folytonos, míg g(x) és h(x) nem.A definíció pontos értelme tulajdonképpen az, hogy ha x elég közel kerül x 0 -hoz,akkor f(x) is elég közel van f(x 0)-hoz.3.4. TÉTEL: Ha az f(x) és g(x) függvények az x 0 pontbanfolytonosak, akkor az x 0 pontban folytonos leszaz összegük, különbségük, szorzatuk, hányadosukis (amennyiben a nevezõ nem 0).BizonyításA bizonyítást lásd a 3.3-as tételnél: A és B szerepét f(x 0) és g(x 0)veszi át.3.5. TÉTEL: Ha a g(x) függvény folytonos az x 0 ÎD g értelmezésitartománybeli pontban és az f(x) függvényfolytonos a g(x 0) Î D f értelmezési tartománybelipontban, akkor F(x 0) = f(g(x 0))összetett függvény is folytonos az x 0 ÎD F értelmezésitartománybeli pontban.BizonyításMivel g folytonos, ezért bármely x n ® x 0 sorozatra teljesül, hogylim gx ( n) = gx ( 0).xn® x 0Mivel f folytonos, ezért g(x n) ® g(x 0) sorozatra teljesül, hogylim fgx ( ( n) = fgx ( ( 0).gx ( n) ® gx ( 0 )Ígylim Fx ( n) = lim fgx ( ( n)) = fgx ( ( 0)) = Fx ( 0).xn® x0 xn®x0Megjegyzés: A 3.4. és 3.5. tételekben nem mondjuk ki feltételként, hogy a függvényekértelmezve legyenek a kérdéses pontban és valamely környezetében, ugyanisfeltételezzük, hogy folytonosak ott és a folytonosság definíciója ezt biztosítja.Régebben – az általános iskolában, a középiskola elsõ osztályában –beszéltünk a függvények tulajdonságairól. Ott esetleg annyit tudtunkmondani, hogy folytonos a függvény, ha „lerajzolása közben nem kellfelemelni a ceruzát”. Immár precízen is meg tudjuk fogalmazni:„jó” tulajdonságú az a függvény, amely az értelmezési tartományánakminden pontjában folytonos.3.10. DEFINÍCIÓ: Azokat a függvényeket, melyek az értelmezésitartományuk minden pontjában folytonosak,folytonos függvényeknek nevezzük.folytonos függvényekösszege, szorzata isfolytonosösszetett függvényfolytonosságamindenütt folytonosfüggvény8485Az analízis elemei – Emelt szintű tankönyvwww.mozaweb.hu