Appunti di Metodi Matematici 1 - Guido Cioni

Combiniamo questi due risultati per ottenere la soluzione generale
Questa rappresenta la soluzione generale “quantizzata” su n , ovvero che vale per ogni n. Possiamo fare
una combinazione lineare di questa verificando che soddisfa ancora il problema iniziale.
Si verifica immediatamente che questa è ancora soluzione dell’equazione di D’Alambert semplicemente
sostituendo le derivate e verificando l’identit{. Vogliamo ora scegliere un caso particolare e ricavare i
valori dei parametri .
Le condizioni che poniamo sono
Sfruttando la prima equazione si ottiene
Questa condizione equivale a sviluppare la funzione in una serie di Fourier che contiene soli seni .
Tale singolarit{ non deve stupirci dal momento che stiamo cercando soluzioni nell’intervallo
mentre la serie di Fourier classica opera in . Possiamo comunque prolungare con continuità
sull’intervallo inserendo anche i coseni nello sviluppo della funzione.
I coefficienti si ricavano e valgono
La seconda condizione iniziale equivale alla condizione
La scelta di annullare gli sfasamenti segue da un’osservazione di carattere generale : annullare o
porterebbe ad una soluzione di scarso interesse matematico e fisico. La soluzione finale ha quindi
l’espressione seguente
Prendiamo come esempio la funzione definita da