Appunti di Metodi Matematici 1 - Guido Cioni

Inoltre l’immagine di questo operatore è data da
Infatti per qualunque funzione del tipo , tale che .
Infine è verificato che poiché le funzioni f sono del tipo
e quindi l’immagine ed il nucleo sono ortogonali ( quest’ultima osservazione NON è sempre vera ).
23 apr. ’10 – Esercitazione
Vediamo alcuni esempi di operatori con particolari caratteristiche. Sia innanzitutto
dove il pedice indica il prolungamento per periodicità.
1. Sia , dove è una trasformazione unitaria. Si ha che la funzione
trasformata si calcola facilmente facendo la sostituzione lineare nell’integrale
seguente
Abbiamo quindi ottenuto la relazione
Ovvero i due operatori commutano.
2. Prendiamo l’operatore applicato a . Si ha quindi , sostituendo
Notiamo che è il coefficiente ennesimo di Fourier della funzione , a meno di multipli di
. Notiamo inoltre che è una successione che si accumula a 0.
3. Definiamo un nuovo operatore con la proprietà , che produce l’effetto al
continuo , a meno di fattori di normalizzazione.