Appunti di Metodi Matematici 1 - Guido Cioni

Es.
Vediamo perché in generale vale la seguente proprietà
Verifichiamolo con un contro esempio in un caso particolare dove .
Dunque la diseguaglianza non è valida.
Es.
Prendiamo . Vogliamo verificare . Un esempio di questo tipo di
funzione è data dal SONC scritto tramite polinomi di Hermite : . Vediamo subito che la
proprietà non è valida poiché ad esempio
Utilizzando il metodo illustrato per il calcolo del dominio vediamo che
In dimensione infinita la ricerca degli auto vettori non si attua semplicemente. Può infatti accadere che
un operatore NON abbia nemmeno un autovettore. L’equazione da risolvere rimane sempre la stessa
ma l’equazione secolare non è più risolvibile poiché non è possibile sviluppare il
determinante della matrice .
Es.
Sia e operatore proiettore .
Il dominio di questo operatore è tutto lo spazio , mentre l’immagine è tutto . I vettori mandati in se
stessi sono quelli che appartengono ad con e degenerazione eguale alla
dimensione di . Anche i vettori con e sono auto vettori. Ci
domandiamo quindi se esista un SONC di auto vettori per questo operatore. Questo esiste sempre poiché
basta scegliere SONC per e SONC per .
Es.
Sia e definiamo l’operatore
Per trovare gli auto vettori di questo operatore basta prendere una funzione qualunque definita nulla
per e viceversa per una funzione .
Per trovare un SONC di auto vettori basta prendere in ed in .