Appunti di Metodi Matematici 1 - Guido Cioni
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Gli spazi <strong>di</strong>fferiscono tra loro per alcune proprietà principali. Valgono le seguenti<br />
1. Se I compatto<br />
Devo <strong>di</strong>mostrare che da cui segue la tesi poiché<br />
Possiamo inoltre fare la <strong>di</strong>seguaglianza<br />
2. Se posso definire<br />
Le relazioni con questa norma sono date da<br />
3. Se I compatto ,<br />
4. Se non compatto . Verifichiamo questo con un esempio<br />
Pren<strong>di</strong>amo ora la successione <strong>di</strong> funzioni definita da<br />
Sappiamo che uniformemente , poiché .<br />
Ve<strong>di</strong>amo però che la convergenza non è verificata<br />
In senso invece si ha convergenza<br />
Consideriamo ora lo spazio e una funzione . Il prodotto scalare dei coefficienti<br />
della serie <strong>di</strong> Fourier con una generica funzione si può scrivere come<br />
Il III Teorema <strong>di</strong> Fourier asserisce che la serie definita da
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