Appunti di Metodi Matematici 1 - Guido Cioni
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Per rendere minima questa norma occorre che si annulli l’unica quantit{ che contiene gli in<strong>di</strong>ci .<br />
Sostituendo quin<strong>di</strong> nella relazione precedente si ottiene la seguente <strong>di</strong>seguaglianza<br />
Il passaggio al limite è lecito e non cambia il significato della <strong>di</strong>seguaglianza in quanto la norma <strong>di</strong> x non<br />
<strong>di</strong>pende da n. Definisco quin<strong>di</strong> il vettore delle migliori approssimazioni utilizzando i coefficienti appena<br />
ricavati<br />
Notiamo che la successione <strong>di</strong> questi vettori è <strong>di</strong> Cauchy poiché vale per tutti gli interi<br />
Ma poiché , per la completezza dello spazio esiste sicuramente un la successione delle<br />
migliori approssimazioni sicuramente ha limite. Si pongono ora due possibilità , .<br />
Evidentemente se vale la prima allora la scelta è giusta e ho trovato una base , altrimenti dobbiamo<br />
reiterare il proce<strong>di</strong>mento.<br />
Es:<br />
Pren<strong>di</strong>amo .<br />
Se togliamo tutti i seni dal set non abbiamo più una base per lo spazio infatti considerando<br />
la migliore approssimazione della funzione <strong>di</strong>spari è 0.<br />
Alternativamente il set <strong>di</strong> vettori elimina dalla serie tutti i coefficienti<br />
che non hanno multipli <strong>di</strong> 7.<br />
Dalla <strong>di</strong>seguaglianza <strong>di</strong> Bessel <strong>di</strong>scende la relazione <strong>di</strong> Parseval che rappresenta il teorema <strong>di</strong> Pitagora n<strong>di</strong>mensionale.<br />
Nel caso più specifico <strong>di</strong> uno spazio la precedente si traduce in
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