PDF - Matematica e Applicazioni

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Eulero (1707-1783) Lagrange (1736-1813) F RAZIONI CONT INUE Le migliori approssimazioni di con denominatori via via crescenti sono: 3 1 ; 13 4 ; 16 5 ; 19 6 ; 22 7 ; 179 57 ; 201 64 ; 223 71 ; 245 78 ; 267 85 ; 289 92 ; 311 99 ; 333 106 355 ; ; ::: 113 Tra queste approssimazioni, 3, 22=7, 333=106, 355=113,..., sono le frazioni parziali dello sviluppo di in frazioni continue, 1 = 3 + : 1 7 + 1 15 + 1 1 + 292 + ::: Le frazioni continue compaiono implicitamente nell’algoritmo di Euclide per la determinazione del massimo comun divisore. Dati due interi a e b, esistono due interi c ed r con a = b c+r e 0 r < b. Esistono poi d ed s con b = r d+s e 0 s < r... I resti decrescono e l’ultimo resto non nullo è il massimo comun divisore tra a e b. Si può riscrivere l’algoritmo come una frazione continua, a r 1 = c + = c + b b b r = c + 1 d + s r = c + 1 d + 1 r s = ::: In un linguaggio funzionale più astratto, se [y] è la parte intera di y e F (x) = 172
1=x [1=x] la parte frazionaria di 1=x, allora per ogni 0 < x < 1 si ha 1 x = [1=x] + F (x) = 1 1 [1=x] + [1=F (x)] + F 2 (x) 1 = 1 [1=x] + 1 [1=F (x)] + [1=F 2 : (x)] + ::: In particolare, i numeri razionali hanno sviluppi in frazioni continue semplici …nite e viceversa. Per comodità tipogra…ca si usa anche scrivere 1 a(0) + 1 a(1) + 1 a(2) + a(3) + ::: = a(0) + 1 1 1 a(1)+ a(2)+ a(3)+ ::: = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] : Le n esime convergenti p(n)=q(n) = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::; a(n)] si possono calcolare in modo ricorsivo ponendo p(0) = a(0); p(1) = a(0)a(1) + 1; p(n) = a(n)p(n 1) + p(n 2); q(0) = 1; q(1) = a(1); q(n) = a(n)q(n 1) + q(n 2): Per dimostrare queste formule per induzione, basta scrivere la frazione con n termini [a(0); :::; a(n)] nella forma con n 1 termini [a(0); :::; a(n 1) + 1=a(n)]. Se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e x(n) = [a(n); a(n + 1); a(n + 2); a(n + 3); :::], risulta x x = p(n + 1) q(n + 1) x(n + 1)p(n) + p(n 1) x(n + 1)q(n) + q(n 1) ; p(n) q(n) = ( ) n q(n)q(n + 1) ; p(n + 1) q(n + 1) = q(n) x(n + 2)q(n + 1) x p(n) q(n) Quindi p(n + 1)=q(n + 1) dista da x meno di p(n)=q(n) e p(0) p(2) p(4) p(5) p(3) p(1) < < < ::: < x < ::: < < < q(0) q(2) q(4) q(5) q(3) q(1) ; 1 < x 2q(n)q(n + 1) p(n) q(n) < 1 q(n)q(n + 1) : Le frazioni continue possono essere utilizzate per approssimare dei numeri irrazionali con delle frazioni, o dei numeri razionali con denominatore alto con 173 :
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" " o& peripheria circuli exponenti
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Albrecht Durer 1554 Leonardo da Vin
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Lunule nel Codice Atlantico di Leon
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= 3; 1415926535::: 1665 I. Newton 1
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Ossi di babbuino, Lembobo, 35000 a.
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prima lo spazio era più curvo e la
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La quadratura del cerchio y = p x x
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e se jp=qj B e j jj B, allora q n 0
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La piega r che congiunge due punti
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”Libro dei Lemmi” di Archimede.
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adice di un polinomio a coe¢ cient
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per de…nire l’esponenziale e ri
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5) Se x > 0 allora exp(x) > 0, inol
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L’area del cerchio x 2 + y 2 R 2
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coe¢ cienti interi in a, b, c,....
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(5) La disuguaglianza (p 1)! jXj C
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Per ottenere una contraddizione bas
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I coe¢ cienti " e f (j)g sono inte
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