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del calcolo. Analisi. Costruzioni con riga e compasso. Numeri algebrici e trascendenti. Equiscomponibilità e decomposizioni paradossali. Morbo decimale. Morbo ciclometrico. 2- Metodo di esaustione. 3- Tavole di corde e logaritmi. 4- Prodotti in…niti. 5- Serie di logaritmi e arco tangenti. 6- Serie dei reciproci di potenze. 7- Frazioni continue. 8- Metodi Montecarlo. 9- Problema del cerchio. 10- Lemniscata e medie aritmetico geometriche. 11- Catenaria e problema isoperimetrico. 12- Cicloide. 13- Numeri razionali, algebrici, trascendenti. 14- Riga, compasso, origami. 15- Lunule. 16- De…nizione astratta di . Il capitolo zero è una tabella con vari valori numerici attribuiti a . Il primo capitolo copre circa quattromila anni di storia ed è piuttosto discorsivo, gli altri sono brevi ma un poco più tecnici. In ogni caso, ogni capitolo è indipendente dagli altri. 4
Lunule nel Codice Atlantico di Leonardo da Vinci 5
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Page 7 and 8: = 3; 1415926535::: 1665 I. Newton 1
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LOGARITMI: Per il matematico police
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con velocità uniforme r, allora y
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sono pochi. È sempre così con del
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P. Gregorii a S to Vincentio Opus G
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La scodella di Galileo ed il volume
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le lunghezze dei segmenti paralleli
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soluzione si complica. Nel 1701 New
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trasformare i primi venti decimali
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Broccolo romano. Ammonite (Giurassi
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La cicloide di Galileo Galilei. ”
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e , P T = (P S) + (S T ) = A exp 2
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2 , ma non calcolano esplicitamente
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ANALISI: Leibniz 1682 Newton 1723 E
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Ispirato dalle ricerche di Wallis s
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La serie dell’arco seno, del seno
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La quadratura del cerchio y = p x x
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problemi non sono nè piani, nè so
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un ”Nuovo metodo per i massimi e
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curve con ordinate n 1 dx e + fxn ;
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La serie dell’arco tangente di Ni
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Un problema dei fratelli Bernoulli:
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viceversa, A A B = 1 + B ; A B A B
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Infatti le funzioni exp(ix) e cos(x
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Quindi, tan(x) = 1 3 x x2 5 x2 x2 7
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a c e della frazione continua ::: =
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i lati di questa …gura rettilinea
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COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO: Fa
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del 1797 dimostrano che ogni costru
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Costruzioni approssimate di un pent
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La costruzione di J. de Gelder del
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Il calcolo di una radice quadrata n
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a denari 2 la lira fu prestata il m
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un compasso ad apertura …ssa, non
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”Se qualcuno ti chiede di divider
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dimostrazione del teorema che ogni
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ax n + bx n 1 + ::: + cx + d = 0, a
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ciato si può dare una veste geomet
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La geometria non euclidea iperbolic
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di ogni orbita Gx con x in S P . Pe
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Abaco romano Calcolatrice di Leonar
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Le serie di Ramanujan o¤rono un e
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Per veri…care l’identità basta
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L’insieme di Mandelbrot sono i pu
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”Esame ed emendamento della matem
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l’avviso che sono state depositat
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= 3 + 13=80 + 3=80 cos(S L), con S
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Archimede ottiene i perimetri dei p
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La lunghezza dell’arco di curva h
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Con dei metodi iterativi non solo
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sin( =180) basta interpolare tra =1
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2 j , si de…nisce la successione
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Viete (1540-1603) Wallis (1617-1702
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In generale, se (x) = A(n) = Z +1 t
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Newton (1642-1727) Gregory (1638-16
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ottenere formule di questo tipo si
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Eulero (1707-1783) SERIE DEI RECIP
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certe funzioni trascendenti. In par
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La funzione z 2 cot ( z) ha residuo
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Eulero (1707-1783) Lagrange (1736-1
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azionali con denominatore basso. Ri
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equazione di secondo grado a coe¢
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moltiplicare per due uno sviluppo i
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Da questa relazione di ricorrenza s
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Stirling, si ha 2n n 2 2n (2n) 2ne
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chi scommette che ne tocca più di
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La formula di Cauchy per l’area d
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Se n e k sono grandi questa probabi
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Infatti, se dei punti su un tratto
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ha la funzione generatrice 0 +1X @
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serie di Fourier. Quanti punti inte
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Come per il problema del cerchio, q
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D’altra parte, per la formula di
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sono calcolabili in modo elementare
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La lunghezza di un arco di curva in
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partire dall’integrale ellittico
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”La corda così tesa, e poco o mo
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peso ha direzione verticale ed è p
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La soluzione del problema isoperime
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Similmente, l’area della regione
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l’uguaglianza vale solo se ry1(x)
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come soluzione la catenaria. Questo
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di Firenze non ne potesse intender
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Huygens e l’evolvente ed evoluta
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Per piccolo il termine sin 2 ( =2)
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Se si vuole, nel de…nire i numeri
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nioni di Hamilton, a + bi + cj + dk
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equazioni algebriche a coe¢ cienti
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Se 0 x 1 si ha jP (x)j < 1=n! e tut
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e se jp=qj B e j jj B, allora q n 0
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allo sviluppo di [1; 1; 1; 1; :::]
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campo K( ) che contiene sia K che h
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Quindi cos (2 =5) = (z + 1=z) =2 =
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isoscele, quindi OQ = P A, ma anche
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piccolo. In particolare, una generi
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La piega r che congiunge due punti
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è algebrico. Ma, per il teorema di
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”Libro dei Lemmi” di Archimede.
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adice di un polinomio a coe¢ cient
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per de…nire l’esponenziale e ri
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5) Se x > 0 allora exp(x) > 0, inol
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L’area del cerchio x 2 + y 2 R 2
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coe¢ cienti interi in a, b, c,....
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(5) La disuguaglianza (p 1)! jXj C
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Per ottenere una contraddizione bas
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I coe¢ cienti " e f (j)g sono inte
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